Реши задание на изображении
Краткий ответ: \[ x^2+2x-48<0 \quad\Longrightarrow\quad x\in(-8;\,6) \]
Как решать:
Выписываем коэффициенты: \[ a=1,\quad b=2,\quad c=-48 \]
Находим дискриминант — в тетради вычисление не закончено: \[ D=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-48)=4+192=196=14^2 \]
Находим корни: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} =\frac{-2\pm14}{2} \] \[ x_1=\frac{-2-14}{2}=-8,\qquad x_2=\frac{-2+14}{2}=6 \]
Можно разложить на множители: \[ x^2+2x-48=(x+8)(x-6) \] Неравенство имеет вид: \[ (x+8)(x-6)<0 \] Произведение отрицательно между корнями, потому что ветви параболы \(y=x^2+2x-48\) направлены вверх (\(a=1>0\)). Значит, парабола ниже оси \(x\) на промежутке между \(-8\) и \(6\).
Проверка: возьмём \(x=0\): \[ 0^2+2\cdot0-48=-48<0 \] Верно. А при \(x=7\): \[ 49+14-48=15>0 \] то есть за промежутком неравенство уже не выполняется.
Ответ: \[ x\in(-8;\,6) \]
Обсуждение
6 сообщенийРазве не так
Да, у тебя всё записано верно. В тетради дискриминант как раз посчитан правильно — не закончено только нахождение корней. Дописываем:
\[ x_{1,2}=\frac{-2\pm14}{2\cdot1}=\frac{-2\pm14}{2} \]
\[ x_1=\frac{-2-14}{2}=\frac{-16}{2}=-8 \]
\[ x_2=\frac{-2+14}{2}=\frac{12}{2}=6 \]
Теперь неравенство:
\[ x^2+2x-48<0 \]
Так как коэффициент при \(x^2\) равен \(1>0\), ветви параболы направлены вверх. Значит, выражение отрицательно между корнями:
\[ -8<x<6 \]
Ответ: \[ x\in(-8;\,6) \]
То есть твоё решение идёт правильно — осталось только дописать корни и ответ.
Это следующий номер по той же теме — квадратное неравенство. Решаем так же.
\[ 2x^2-7x+6>0 \]
- Находим корни уравнения \(2x^2-7x+6=0\):
\[ D=(-7)^2-4\cdot2\cdot6=49-48=1 \]
\[ x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt1}{2\cdot2}=\frac{7\pm1}{4} \]
\[ x_1=\frac{7-1}{4}=\frac64=\frac32=1{,}5 \]
\[ x_2=\frac{7+1}{4}=\frac84=2 \]
- Ветви параболы \(y=2x^2-7x+6\) направлены вверх, так как \(2>0\). Поэтому выражение положительно вне промежутка между корнями:
\[ x<\frac32 \quad \text{или}\quad x>2 \]
Ответ:
\[ x\in\left(-\infty;\frac32\right)\cup(2;+\infty) \]
Точки \(\frac32\) и \(2\) не включаются, потому что неравенство строгое: \(>0\).
Это продолжение той же темы — следующее квадратное неравенство, пункт 2. Рисунок сверху относится к первому примеру (там корни \(-8\) и \(6\)), а для этого номера нужен свой чертёж.
Краткий ответ: \[ 2x^2-7x+6>0 \quad\Longrightarrow\quad x\in(-\infty;\,1{,}5)\cup(2;\,+\infty) \]
Решение:
Находим корни уравнения: \[ 2x^2-7x+6=0 \] \[ D=(-7)^2-4\cdot2\cdot6=49-48=1 \] \[ x_{1,2}=\frac{7\pm1}{2\cdot2}=\frac{7\pm1}{4} \] \[ x_1=\frac{7-1}{4}=\frac{6}{4}=1{,}5 \] \[ x_2=\frac{7+1}{4}=\frac{8}{4}=2 \]
Ветви параболы \(y=2x^2-7x+6\) направлены вверх, так как \(a=2>0\).
Неравенство строгое \(>0\), значит, нужны промежутки, где парабола выше оси \(x\), то есть левее \(1{,}5\) и правее \(2\). Точки \(1{,}5\) и \(2\) выколоты.
Ответ: \[ x\in(-\infty;\,1{,}5)\cup(2;\,+\infty) \]
Проверка: возьмём \(x=0\): \[ 2\cdot0-7\cdot0+6=6>0 \] — подходит. А при \(x=1{,}75\): \[ 2\cdot(1{,}75)^2-7\cdot1{,}75+6=6{,}125-12{,}25+6=-0{,}125<0 \] — не подходит, что и ожидалось между корнями.
