77 79 78
Кратко
- № 77: \(y=-15x^2\) — парабола ветвями вниз, «узкая»; \(y=0{,}8x^2\) — ветвями вверх, немного шире \(y=x^2\).
- № 78: \(y=0{,}2x^2\) — ветвями вверх, широкая; \(y=-10x^2\) — ветвями вниз, узкая.
- № 79:
а) \((-5;50)\), \((5;50)\);
б) \((-5\sqrt2;100)\), \((5\sqrt2;100)\);
в) не пересекаются;
г) \((2;8)\), \((5;50)\).
№ 77–78. Как устроены графики и их свойства
Все четыре функции имеют вид \(y=ax^2\). Их графики — параболы с вершиной в точке \((0;0)\), осью симметрии является ось \(y\), то есть прямая \(x=0\).
Общие свойства для всех четырёх:
- область определения \(D(y)=\mathbb R\);
- единственный нуль: \(x=0\);
- \(y(0)=0\), график проходит через начало координат;
- \(y(-x)=y(x)\), поэтому график симметричен относительно оси \(y\);
- если \(a>0\), ветви вверх; если \(a<0\), ветви вниз;
- если \(|a|>1\), парабола «круче» и уже; если \(|a|<1\), она шире, чем \(y=x^2\).
| Функция | Ветви | Область значений | Экстремум | Возрастает / убывает | Знак \(y\) при \(x\ne0\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(77а:\ y=-15x^2\) | вниз, узкая | \((-\infty;0]\) | максимум \(0\) при \(x=0\) | возрастает на \((-\infty;0]\), убывает на \([0;+\infty)\) | \(y<0\) |
| \(77б:\ y=0{,}8x^2\) | вверх, чуть шире | \([0;+\infty)\) | минимум \(0\) при \(x=0\) | убывает на \((-\infty;0]\), возрастает на \([0;+\infty)\) | \(y>0\) |
| \(78а:\ y=0{,}2x^2\) | вверх, широкая | \([0;+\infty)\) | минимум \(0\) при \(x=0\) | убывает на \((-\infty;0]\), возрастает на \([0;+\infty)\) | \(y>0\) |
| \(78б:\ y=-10x^2\) | вниз, узкая | \((-\infty;0]\) | максимум \(0\) при \(x=0\) | возрастает на \((-\infty;0]\), убывает на \([0;+\infty)\) | \(y<0\) |
Для эскиза можно взять точки:
- \(77а\): \((0;0)\), \((1;-15)\), \((-1;-15)\);
- \(77б\): \((0;0)\), \((\pm1;0{,}8)\), \((\pm2;3{,}2)\);
- \(78а\): \((0;0)\), \((\pm2;0{,}8)\), \((\pm5;5)\);
- \(78б\): \((0;0)\), \((\pm0{,}5;-2{,}5)\), \((\pm1;-10)\).
Через эти точки проводим плавную симметричную параболу, а не соединяем их отрезками.
№ 79. Точки пересечения параболы и прямой
Точка пересечения должна лежать на обоих графиках. Значит, надо приравнять \(y\) из уравнения параболы и уравнения прямой:
\[ 2x^2=y_{\text{прямой}}. \]
а) \(y=50\)
\[ 2x^2=50 \] \[ x^2=25 \] \[ x=\pm5. \]
Тогда \(y=50\). Получаем две точки:
\[ (-5;50),\quad (5;50). \]
б) \(y=100\)
\[ 2x^2=100 \] \[ x^2=50 \] \[ x=\pm\sqrt{50}=\pm5\sqrt2. \]
Точки:
\[ (-5\sqrt2;100),\quad (5\sqrt2;100). \]
в) \(y=-8\)
\[ 2x^2=-8. \]
Левая часть \(2x^2\) всегда неотрицательна, а правая равна \(-8\). Поэтому действительных корней нет:
\[ \varnothing. \]
Парабола \(y=2x^2\) не пересекается с прямой \(y=-8\).
г) \(y=14x-20\)
\[ 2x^2=14x-20 \] \[ 2x^2-14x+20=0 \] \[ x^2-7x+10=0. \]
Разложим:
\[ (x-2)(x-5)=0, \]
поэтому
\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=5. \]
Находим \(y\):
\[ x=2:\quad y=2\cdot 2^2=8, \] \[ x=5:\quad y=2\cdot 5^2=50. \]
Точки:
\[ (2;8),\quad (5;50). \]
Проверка по прямой:
\[ x=2:\ 14\cdot2-20=8, \] \[ x=5:\ 14\cdot5-20=50. \]
Всё сходится.
Общий принцип: чтобы найти точки пересечения графиков, нужно решить уравнение \(f(x)=g(x)\). Его корни дают абсциссы точек; значение \(y\) затем находится подстановкой в любую из функций.
Обсуждение
6 сообщенийДай похожее задание на пересечение с прямой
Вот похожее задание:
Найдите точки пересечения параболы
\[ > y=-\frac12x^2 > \] и прямой
\[ > y=-\frac32x+1. > \]
Краткий ответ:
\[
\left(1;-\frac12\right),\qquad (2;-2).
\]
Решение:
В точках пересечения значения \(y\) равны, поэтому приравниваем правые части:
\[ -\frac12x^2=-\frac32x+1. \]
Умножим обе части на \(-2\):
\[ x^2=3x-2. \]
Перенесём всё в одну сторону:
\[ x^2-3x+2=0. \]
По теореме Виета:
\[ x_1=1,\qquad x_2=2. \]
Теперь найдём \(y\), подставив \(x\) в уравнение параболы:
\[ x=1:\quad y=-\frac12\cdot 1^2=-\frac12, \]
\[ x=2:\quad y=-\frac12\cdot 2^2=-2. \]
Получаем точки:
\[ \left(1;-\frac12\right),\qquad (2;-2). \]
Проверка по прямой \(y=-\frac32x+1\):
\[ x=1:\quad y=-\frac32+1=-\frac12, \]
\[ x=2:\quad y=-3+1=-2. \]
Всё сходится.
Принцип: чтобы найти точки пересечения графиков, нужно приравнять формулы функций, решить уравнение относительно \(x\), а затем найти соответствующие \(y\).
Я не понемаю обьясни
Я не понемаю обьясни
Разберём с нуля — без формул «на веру»
1. Что вообще такое график
Уравнение \(y=-\frac12x^2\) — это правило: берём любое \(x\), подставляем, получаем \(y\). Каждая такая пара \((x;y)\) — точка на графике.
То же с прямой \(y=-\frac32x+1\): у неё своё правило.
2. Что значит «точка пересечения»
Графики встретились — значит в этой точке и \(x\), и \(y\) у них одинаковые. Точка одна и та же, просто получена по двум разным правилам.
Вот главная мысль:
В точке пересечения \(y\) параболы равно \(y\) прямой.
3. Отсюда — приравниваем
\[ \underbrace{-\frac12x^2}_{y \text{ параболы}}=\underbrace{-\frac32x+1}_{y \text{ прямой}} \]
Теперь неизвестное только одно — \(x\). Решаем.
Убираем дроби. Умножим обе части на \(-2\):
\[ x^2=3x-2 \]
Переносим всё влево, чтобы справа остался \(0\):
\[ x^2-3x+2=0 \]
Почему влево? Потому что мы умеем решать уравнения вида «квадрат = 0», а не «квадрат = что-то».
Решаем. Сумма корней \(3\), произведение \(2\):
\[ x=1 \quad\text{или}\quad x=2. \]
Это абсциссы точек пересечения — то есть «где по горизонтали».
4. Находим \(y\)
Берём любое из двух уравнений — проще параболу:
\[ x=1:\quad y=-\tfrac12\cdot1^2=-\tfrac12 \]
\[ x=2:\quad y=-\tfrac12\cdot2^2=-2 \]
Ответ: \[ \left(1;-\tfrac12\right),\qquad (2;-2). \]
5. Проверка таблицей — убеждаемся, что не соврали
| \(x\) | \(y\) параболы \(-\frac12x^2\) | \(y\) прямой \(-\frac32x+1\) | Совпало? |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | нет |
| 1 | \(-\frac12\) | \(-\frac12\) | да |
| 2 | \(-2\) | \(-2\) | да |
| 3 | \(-\frac{9}{2}\) | \(-\frac{7}{2}\) | нет |
Совпадение в столбце — это и есть пересечение. Всё честно.
6. Зачем нужен был \(0\) справа
Квадратное уравнение может дать:
- два корня → графики пересекаются в двух точках (наш случай);
- один корень → прямая лишь касается параболы;
- нет корней → не пересекаются вовсе (как в № 79в).
Так что «дискриминант» — это просто ответ на вопрос «сколько раз они встретятся».
Проверь себя
Найди точки пересечения \(y=x^2\) и \(y=2x+3\).
Подсказка-порядок: приравнять → перенести → решить \(x^2-2x-3=0\) → подставить каждый \(x\).
Давай разберём с самого начала и очень медленно. Главное — понять одну идею, дальше всё станет просто.
1. Что такое график функции
График — это все точки \((x;y)\), координаты которых подходят в формулу.
Например, у параболы \(y=-\frac12x^2\):
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y=-\frac12x^2\) | \(-2\) | \(-0{,}5\) | \(0\) | \(-0{,}5\) | \(-2\) |
То есть точки \((-1;-0{,}5)\), \((1;-0{,}5)\), \((2;-2)\) и т.д. лежат на параболе.
2. Что значит «точка пересечения»
Это точка, которая лежит сразу на двух графиках.
Значит, её координаты должны подходить и в формулу параболы, и в формулу прямой одновременно.
Вот наша задача:
\[ y=-\frac12x^2 \qquad \text{и} \qquad y=-\frac32x+1. \]
Если точка \((x;y)\) лежит на обоих графиках, то в ней оба \(y\) равны. Поэтому можно приравнять правые части:
\[ -\frac12x^2=-\frac32x+1. \]
Вот и всё, почему мы приравниваем: это один и тот же \(y\).
3. Решаем уравнение
\[ -\frac12x^2=-\frac32x+1. \]
Умножим всё на \(-2\), чтобы убрать дроби и минус:
\[ x^2=3x-2. \]
Перенесём всё влево:
\[ x^2-3x+2=0. \]
Раскладываем на множители:
\[ (x-1)(x-2)=0. \]
Значит:
\[ x=1 \quad \text{или} \quad x=2. \]
Это абсциссы точек пересечения, то есть «по горизонтали».
4. Находим \(y\)
Теперь надо узнать, на какой высоте эти точки. Подставляем \(x\) в любую формулу — удобнее в параболу:
\[ x=1:\quad y=-\frac12\cdot1^2=-\frac12. \]
\[ x=2:\quad y=-\frac12\cdot2^2=-2. \]
Получили точки:
\[ \left(1;-\frac12\right),\qquad (2;-2). \]
5. Проверка
Подставим \(x=1\) и \(x=2\) в прямую \(y=-\frac32x+1\):
\[ x=1:\quad -\frac32\cdot1+1=-\frac12 \quad \checkmark \]
\[ x=2:\quad -\frac32\cdot2+1=-2 \quad \checkmark \]
Значения совпали — значит, точки найдены верно.
Коротко весь алгоритм
- Приравнять \(y\) из двух формул.
- Решить уравнение относительно \(x\).
- Подставить найденные \(x\) в любую формулу и найти \(y\).
- Записать точки \((x;y)\).
Если на каком-то шаге всё равно непонятно — скажи номер шага, и разберём только его.
