Реши задание на изображении

Дано:
\[ m=0{,}5\ \text{кг},\qquad v_0=4\ \text{м/с},\qquad g=10\ \text{м/с}^2 \] В верхней точке подъёма: \[ v=0 \]

Найти:
\[ A_{\text{тяж}},\quad \Delta E_k,\quad \Delta E_{\text{п}} \]

Решение:

1. Высота подъёма: \[ h=\frac{v_0^2}{2g} =\frac{4^2}{2\cdot 10} =\frac{16}{20}=0{,}8\ \text{м} \]

2. Начальная кинетическая энергия: \[ E_{k0}=\frac{mv_0^2}{2} =\frac{0{,}5\cdot 16}{2}=4\ \text{Дж} \] В верхней точке \(E_k=0\), поэтому: \[ \Delta E_k=0-4=-4\ \text{Дж} \]

3. Изменение потенциальной энергии: \[ \Delta E_{\text{п}}=mgh =0{,}5\cdot 10\cdot 0{,}8=4\ \text{Дж} \]

4. Работа силы тяжести при подъёме: \[ A_{\text{тяж}}=-mgh=-4\ \text{Дж} \]

Ответ:
\[ A_{\text{тяж}}=-4\ \text{Дж};\qquad \Delta E_k=-4\ \text{Дж};\qquad \Delta E_{\text{п}}=4\ \text{Дж} \]

Проверка: \[ A_{\text{тяж}}=\Delta E_k=-4\ \text{Дж},\qquad \Delta E_k+\Delta E_{\text{п}}=-4+4=0 \]

На высоте \(2\) м от поверхности Земли:

\[ E_{\text{п}}=mgh=3\cdot10\cdot2=60\ \text{Дж} \]

Тело падает с высоты \(5\) м до высоты \(2\) м, значит, оно прошло путь:

\[ 5-2=3\ \text{м} \]

За счёт уменьшения потенциальной энергии появляется кинетическая:

\[ E_{\text{к}}=mg(H-h)=3\cdot10\cdot3=90\ \text{Дж} \]

Ответ: \[ E_{\text{к}}=90\ \text{Дж},\qquad E_{\text{п}}=60\ \text{Дж} \]

Проверка: полная энергия в начале \(E=mgH=3\cdot10\cdot5=150\) Дж; в точке на высоте \(2\) м: \[ E_{\text{к}}+E_{\text{п}}=90+60=150\ \text{Дж}. \] Энергия сохраняется. Если брать \(g=9{,}8\ \text{м/с}^2\), получится \(E_{\text{п}}=58{,}8\) Дж, \(E_{\text{к}}=88{,}2\) Дж.

Дано: \[ m=3\ \text{кг},\quad H=5\ \text{м},\quad h=2\ \text{м},\quad g=10\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \]

Найти: \[ E_{\text{к}}\ ?\qquad E_{\text{п}}\ ? \]

Решение:

Потенциальная энергия на высоте \(h=2\) м: \[ E_{\text{п}}=mgh \] \[ E_{\text{п}}=3\cdot 10\cdot 2=60\ \text{Дж} \]

Тело прошло при падении путь: \[ H-h=5-2=3\ \text{м} \]

Кинетическая энергия: \[ E_{\text{к}}=mg(H-h) \] \[ E_{\text{к}}=3\cdot 10\cdot 3=90\ \text{Дж} \]

Ответ: \[ E_{\text{к}}=90\ \text{Дж};\qquad E_{\text{п}}=60\ \text{Дж} \]

Проверка: \[ E_{\text{к}}+E_{\text{п}}=90+60=150\ \text{Дж} \] В начале падения: \[ E=mgH=3\cdot10\cdot5=150\ \text{Дж} \] Энергия сохраняется.

Дано (в СИ):

Все данные уже выражены в СИ, переводить ничего не нужно.

Найти: \[ E_{\text{к}}\ ?\qquad E_{\text{п}}\ ? \]

Решение:

\[ E_{\text{п}}=mgh \] \[ E_{\text{п}}=3\cdot 10\cdot 2=60\ \text{Дж} \]

Тело пролетело путь: \[ H-h=5-2=3\ \text{м} \]

\[ E_{\text{к}}=mg(H-h) \] \[ E_{\text{к}}=3\cdot 10\cdot 3=90\ \text{Дж} \]

Ответ: \[ E_{\text{к}}=90\ \text{Дж};\qquad E_{\text{п}}=60\ \text{Дж} \]

Проверка: \[ E_{\text{к}}+E_{\text{п}}=90+60=150\ \text{Дж} \] \[ mgH=3\cdot 10\cdot 5=150\ \text{Дж} \] Энергия сохраняется.

Да. Если тело падает вниз, знаки изменений энергии и работы силы тяжести будут другими. Сами значения \(E_k\) и \(E_{\text{п}}\) остаются положительными, а меняются знаки \(\Delta E_k\), \(\Delta E_{\text{п}}\) и \(A_{\text{тяж}}\).

Ось \(Oy\) направляют вверх, \(h=0\) — на поверхности Земли.

При падении вниз: \[ \vec{F}_{\text{тяж}}\downarrow,\qquad \vec{s}\downarrow \] поэтому сила тяжести и перемещение сонаправлены: \[ A_{\text{тяж}}>0 \]

Для тела \(m=3\) кг, падающего с \(H=5\) м до \(h=2\) м: \[ s=H-h=5-2=3\ \text{м} \] \[ A_{\text{тяж}}=mgs=3\cdot10\cdot3=90\ \text{Дж} \]

Тогда: \[ \Delta E_k=+90\ \text{Дж} \] \[ \Delta E_{\text{п}}=E_{\text{п2}}-E_{\text{п1}}=mgh-mgH \] \[ \Delta E_{\text{п}}=60-150=-90\ \text{Дж} \]

Если рисовать:

• тело на высоте;
• стрелка \(m\vec{g}\) — вниз;
• стрелка перемещения \(\vec{s}\) — тоже вниз;
• угол между ними \(0^\circ\), поэтому работа положительная;
• \(E_{\text{п}}\) уменьшается, \(E_k\) увеличивается.

Коротко:

\[ \boxed{ \begin{aligned} \text{тело вверх: }& A_{\text{тяж}}<0,\quad \Delta E_k<0,\quad \Delta E_{\text{п}}>0;\\ \text{тело вниз: }& A_{\text{тяж}}>0,\quad \Delta E_k>0,\quad \Delta E_{\text{п}}<0. \end{aligned}} \]

При этом полная механическая энергия сохраняется: \[ E_k+E_{\text{п}}=\text{const} \]