Все Б

Краткие ответы (все пункты «б» на фото):

• 353(б): \(S=1\)
• 354(б): \(S=2+\dfrac{\pi}{2}\)
• 355(б): \(S=\dfrac{8}{3}\)

---

Общий принцип

Если функция \(f(x)\) неотрицательна на отрезке \([a;b]\), то площадь фигуры под её графиком и над осью \(Ox\) равна

\[ S=\int_a^b f(x)\,dx. \]

То есть нужно:

1. проверить, что график лежит выше оси \(Ox\);
2. найти первообразную;
3. применить формулу Ньютона–Лейбница.

---

353(б)

\[ y=\cos x,\quad y=0,\quad x=0,\quad x=\frac{\pi}{2} \]

На \(\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\) функция \(\cos x\ge 0\), поэтому

\[ S=\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx =\sin x\Big|_0^{\pi/2} =\sin\frac{\pi}{2}-\sin 0 =1. \]

Ответ: \(1\).

---

354(б)

\[ y=1+2\sin x,\quad y=0,\quad x=0,\quad x=\frac{\pi}{2} \]

На этом отрезке \(1+2\sin x>0\), значит,

\[ S=\int_0^{\pi/2}(1+2\sin x)\,dx. \]

Первообразная:

\[ x-2\cos x. \]

Подставляем пределы:

\[ S=\left(x-2\cos x\right)\Big|_0^{\pi/2} =\left(\frac{\pi}{2}-0\right)-\left(0-2\right) =\frac{\pi}{2}+2. \]

Ответ: \(2+\dfrac{\pi}{2}\).

---

355(б)

\[ y=\frac{1}{(x+1)^2}+1,\quad y=0,\quad x=0,\quad x=2 \]

Функция положительна на \([0;2]\), поэтому

\[ S=\int_0^2\left(\frac{1}{(x+1)^2}+1\right)dx. \]

Первообразная:

\[ -\frac{1}{x+1}+x. \]

Тогда

\[ S=\left(-\frac{1}{x+1}+x\right)\Big|_0^2 = \left(-\frac13+2\right)-\left(-1+0\right) = \frac53+1 = \frac83. \]

Ответ: \(\dfrac{8}{3}\).

Проверка

Для 355(б) можно считать так: площадь от \(y=1\) равна \(2\), а добавка от \(\frac{1}{(x+1)^2}\):

\[ \int_0^2 \frac{dx}{(x+1)^2}=1-\frac13=\frac23. \]

Итого \(2+\frac23=\frac83\), всё сходится.