Реши задание на изображении

Question 1

Задача Задача №3766890

А

Аноним

4 дня назад · публичный вопрос

А

Аноним 4 дня назад

Реши задание на изображении

Answer

Краткий ответ

Векторы \(\vec a\) и \(\vec b\) не ортогональны и не коллинеарны.
\(2\vec a+\vec b=(10;1;-7)\), \[ \cos\angle(\vec a,\vec b)=\frac{17}{\sqrt{364}}\approx0{,}891. \]
\(|\vec a-3\vec b|=\sqrt{186}\).
\(\vec a=\overrightarrow{AB}=(-4;-4;0)\).

1. Ортогональность и коллинеарность

Дано: \[ \vec a=(-1;3;-3),\qquad \vec b=(4;-5;1). \]

Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю: \[ \vec a\cdot\vec b=-1\cdot4+3\cdot(-5)+(-3)\cdot1=-4-15-3=-22. \] Так как \(-22\ne0\), векторы не ортогональны.

Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны. Здесь: \[ \frac{-1}{4}\ne\frac{3}{-5}\ne\frac{-3}{1}. \] Значит, векторы не коллинеарны.

Ответ: по указанным координатам — ни ортогональные, ни коллинеарные.

2. Вектор \(2\vec a+\vec b\) и косинус угла

Дано: \[ \vec a=(3;1;-2),\qquad \vec b=(4;-1;-3). \]

Умножение на число и сложение выполняются покомпонентно: \[ 2\vec a=(6;2;-4), \] \[ 2\vec a+\vec b=(6+4;\ 2-1;\ -4-3)=(10;1;-7). \]

Теперь косинус: \[ \cos\varphi=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}. \] Считаем: \[ \vec a\cdot\vec b=3\cdot4+1\cdot(-1)+(-2)\cdot(-3)=12-1+6=17, \] \[ |\vec a|=\sqrt{3^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{14}, \] \[ |\vec b|=\sqrt{4^2+(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{26}. \] Отсюда: \[ \cos\varphi=\frac{17}{\sqrt{14}\sqrt{26}} =\frac{17}{\sqrt{364}}\approx0{,}891. \]

3. Длина вектора \(\vec a-3\vec b\)

Дано: \[ \vec a=(2;1;-5),\qquad \vec b=(-3;0;1). \]

Сначала: \[ 3\vec b=(-9;0;3), \] \[ \vec a-3\vec b=(2-(-9);\ 1-0;\ -5-3)=(11;1;-8). \]

Длина: \[ |\vec a-3\vec b|=\sqrt{11^2+1^2+(-8)^2} =\sqrt{121+1+64} =\sqrt{186}. \]

4. Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\)

Правило: координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\) равны \[ \overrightarrow{AB}=B-A. \] То есть «конец минус начало».

\[ \overrightarrow{AB}=(-2-2;\ -3-1;\ 3-3)=(-4;-4;0). \]

Значит, \[ \vec a=(-4;-4;0). \]

Проверка: \[ A+\overrightarrow{AB}=(2;1;3)+(-4;-4;0)=(-2;-3;3)=B. \]

Главное запомнить: сложение и вычитание векторов и умножение на число делаются покомпонентно; ортогональность проверяется через \(\vec a\cdot\vec b=0\); коллинеарность — через пропорциональность координат; длина вектора — корень из суммы квадратов координат.

Question 2

Реши задание на изображении

Answer

**Краткий ответ** 1. Векторы \(\vec a\) и \(\vec b\) **не ортогональны и не коллинеарны**. 2. \(2\vec a+\vec b=(10;1;-7)\), \[ \cos\angle(\vec a,\vec b)=\frac{17}{\sqrt{364}}\approx0{,}891. \] 3. \(|\vec a-3\vec b|=\sqrt{186}\). 4. \(\vec a=\overrightarrow{AB}=(-4;-4;0)\). --- ### 1. Ортогональность и коллинеарность Дано: \[ \vec a=(-1;3;-3),\qquad \vec b=(4;-5;1). \] Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю: \[ \vec a\cdot\vec b=-1\cdot4+3\cdot(-5)+(-3)\cdot1=-4-15-3=-22. \] Так как \(-22\ne0\), векторы **не ортогональны**. Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны. Здесь: \[ \frac{-1}{4}\ne\frac{3}{-5}\ne\frac{-3}{1}. \] Значит, векторы **не коллинеарны**. **Ответ:** по указанным координатам — ни ортогональные, ни коллинеарные. --- ### 2. Вектор \(2\vec a+\vec b\) и косинус угла Дано: \[ \vec a=(3;1;-2),\qquad \vec b=(4;-1;-3). \] Умножение на число и сложение выполняются покомпонентно: \[ 2\vec a=(6;2;-4), \] \[ 2\vec a+\vec b=(6+4;\ 2-1;\ -4-3)=(10;1;-7). \] Теперь косинус: \[ \cos\varphi=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}. \] Считаем: \[ \vec a\cdot\vec b=3\cdot4+1\cdot(-1)+(-2)\cdot(-3)=12-1+6=17, \] \[ |\vec a|=\sqrt{3^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{14}, \] \[ |\vec b|=\sqrt{4^2+(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{26}. \] Отсюда: \[ \cos\varphi=\frac{17}{\sqrt{14}\sqrt{26}} =\frac{17}{\sqrt{364}}\approx0{,}891. \] --- ### 3. Длина вектора \(\vec a-3\vec b\) Дано: \[ \vec a=(2;1;-5),\qquad \vec b=(-3;0;1). \] Сначала: \[ 3\vec b=(-9;0;3), \] \[ \vec a-3\vec b=(2-(-9);\ 1-0;\ -5-3)=(11;1;-8). \] Длина: \[ |\vec a-3\vec b|=\sqrt{11^2+1^2+(-8)^2} =\sqrt{121+1+64} =\sqrt{186}. \] --- ### 4. Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\) Правило: координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\) равны \[ \overrightarrow{AB}=B-A. \] То есть «конец минус начало». \[ \overrightarrow{AB}=(-2-2;\ -3-1;\ 3-3)=(-4;-4;0). \] Значит, \[ \vec a=(-4;-4;0). \] Проверка: \[ A+\overrightarrow{AB}=(2;1;3)+(-4;-4;0)=(-2;-3;3)=B. \] **Главное запомнить:** сложение и вычитание векторов и умножение на число делаются покомпонентно; ортогональность проверяется через \(\vec a\cdot\vec b=0\); коллинеарность — через пропорциональность координат; длина вектора — корень из суммы квадратов координат.