Вариант 3
Краткий ответ для варианта 3
Берём третью строку:
\(A(4;1;2)\), \(B(0;1;0)\), \(C(-1;2;-1)\), \(D(3;1;0)\).
Сначала находим векторы: из координат конца вычитаем координаты начала: \[ \vec{AB}=(-4;0;-2),\quad \vec{BC}=(-1;1;-1), \] \[ \vec{CD}=(4;-1;1),\quad \vec{AD}=(-1;0;-2). \]
\(\vec{AB}-3\vec{BC}+4\vec{CD}\) \[ (-4;0;-2)-3(-1;1;-1)+4(4;-1;1)= \] \[ =(-4;0;-2)+(3;-3;3)+(16;-4;4)= \boxed{(15;-7;5)}. \]
Длины: \[ |\vec{AB}|=\sqrt{(-4)^2+0^2+(-2)^2}=\sqrt{20}=\boxed{2\sqrt5}, \] \[ |\vec{BC}|=\sqrt{(-1)^2+1^2+(-1)^2}=\boxed{\sqrt3}, \] \[ |\vec{CD}|=\sqrt{4^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{18}=\boxed{3\sqrt2}. \]
Косинусы углов находим по формуле \[ \cos\varphi=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}. \]
Для \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\): \[ \vec{AB}\cdot\vec{BC}=(-4)(-1)+0\cdot1+(-2)(-1)=6, \] \[ \cos\angle(\vec{AB},\vec{BC})= \frac{6}{2\sqrt5\cdot\sqrt3}= \boxed{\frac{\sqrt{15}}5}. \]
Для \(\vec{BC}\) и \(\vec{CD}\): \[ \vec{BC}\cdot\vec{CD}=(-1)\cdot4+1\cdot(-1)+(-1)\cdot1=-6, \] \[ \cos\angle(\vec{BC},\vec{CD})= \frac{-6}{\sqrt3\cdot3\sqrt2}= \boxed{-\frac{\sqrt6}{3}}. \]
Отрицательный косинус означает, что угол между \(\vec{BC}\) и \(\vec{CD}\) тупой — это нормально, если направления векторов именно такие.
Сначала: \[ \vec{AB}+\vec{CD}=(-4;0;-2)+(4;-1;1)=(0;-1;-1). \] Тогда \[ (\vec{AB}+\vec{CD})\cdot\vec{AD} =(0;-1;-1)\cdot(-1;0;-2)= \] \[ =0+0+2=\boxed{2}. \]
Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) не коллинеарны.
Если бы они были коллинеарны, выполнялось бы \[ \vec{AB}=k\vec{CD}. \] Из первой координаты: \(-4=4k\), то есть \(k=-1\).
Но тогда вторая координата должна быть \(0=(-1)(-1)=1\), а это неверно.
Значит, \(\boxed{\text{не коллинеарны}}\).Скалярное произведение: \[ \vec{AB}\cdot\vec{CD}=(-4)\cdot4+0\cdot(-1)+(-2)\cdot1=-18\ne0. \] Векторы ортогональны только при нулевом скалярном произведении, поэтому
\(\boxed{\text{не ортогональны}}\).
Что важно запомнить: координаты вектора — это «конец минус начало»; длина — корень из суммы квадратов координат; угол находится через скалярное произведение; коллинеарность проверяется пропорциональностью координат, а перпендикулярность — равенством скалярного произведения нулю.
Обсуждение
4 сообщения3 вариант 5 задание
Вариант 3, задание 5
Нужно выяснить, коллинеарны ли \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\).
Из строки 3: \[ A(4;1;2),\quad B(1;0;1),\quad C(-1;2;-1),\quad D(3;1;0). \]
Находим векторы: \[ \overrightarrow{AB}=B-A=(1-4;\;0-1;\;1-2)=(-3;-1;-1), \] \[ \overrightarrow{CD}=D-C=(3-(-1);\;1-2;\;0-(-1))=(4;-1;1). \]
Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны: \[ \frac{-3}{4},\quad \frac{-1}{-1}=1,\quad \frac{-1}{1}=-1. \] Коэффициенты не равны, значит, векторы не пропорциональны.
Ответ: \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) не коллинеарны.
Проверка через векторное произведение: \[ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}=(-2;-1;7)\ne(0;0;0), \] поэтому векторы действительно не лежат на параллельных прямых.
3 вариант
По фото вариант 3 — это строка: \[ A(4;1;2),\quad B(1;0;1),\quad C(-1;2;-1),\quad D(3;1;0). \]
В предыдущем ответе для задания 1 была опечатка в координате \(B\). Ниже полный пересчёт.
Находим векторы: \[ \overrightarrow{AB}=(-3;-1;-1), \] \[ \overrightarrow{BC}=(-2;2;-2), \] \[ \overrightarrow{CD}=(4;-1;1), \] \[ \overrightarrow{AD}=(-1;0;-2). \]
1. Линейная комбинация
\[ \overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{BC}+4\overrightarrow{CD}= \] \[ =(-3;-1;-1)-3(-2;2;-2)+4(4;-1;1)= \] \[ =(-3;-1;-1)+(6;-6;6)+(16;-4;4)= \boxed{(19;-11;9)}. \]
Если в задании нужна длина этой комбинации, то: \[ \sqrt{19^2+(-11)^2+9^2}=\sqrt{563}. \]
2. Длины векторов
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+1+1}=\boxed{\sqrt{11}}, \] \[ |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{4+4+4}=\boxed{2\sqrt3}, \] \[ |\overrightarrow{CD}|=\sqrt{16+1+1}=\boxed{3\sqrt2}. \]
3. Косинусы углов
Для \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=6, \] \[ \cos\angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})= \frac{6}{\sqrt{11}\cdot 2\sqrt3}= \boxed{\frac{\sqrt{33}}{11}}. \]
Для \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CD}\): \[ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CD}=-12, \] \[ \cos\angle(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD})= \frac{-12}{2\sqrt3\cdot 3\sqrt2}= \boxed{-\frac{\sqrt6}{3}}. \]
4. Скалярное произведение
\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(-3;-1;-1)+(4;-1;1)=(1;-2;0). \] \[ (1;-2;0)\cdot(-1;0;-2)= -1+0+0=\boxed{-1}. \]
5. Коллинеарность
\[ \overrightarrow{AB}=(-3;-1;-1),\quad \overrightarrow{CD}=(4;-1;1). \] Координаты не пропорциональны, поэтому векторы не коллинеарны.
\[ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}=(-2;-1;7)\ne(0;0;0). \]
6. Ортогональность
\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}= (-3)\cdot4+(-1)\cdot(-1)+(-1)\cdot1= -12+1-1=-12\ne0. \] Значит, векторы не ортогональны.
Ответы:
- \((19;-11;9)\)
- \(\sqrt{11};\ 2\sqrt3;\ 3\sqrt2\)
- \(\dfrac{\sqrt{33}}{11};\ -\dfrac{\sqrt6}{3}\)
- \(-1\)
- не коллинеарны
- не ортогональны
