Коробку равномерно тянут по горизонтальной поверхности с помощью верёвки, составляющей с горизонтом угол 60 градусов. Определите массу коробки, если сила натяжения верёвки равна…
Коробку равномерно тянут по горизонтальной поверхности с помощью верёвки, составляющей с горизонтом угол 60 градусов. Определите массу коробки, если сила натяжения верёвки равна 12 Н, коэффициент трения 0,6
Краткий ответ: масса коробки \(\approx 2{,}0\) кг (при \(g=10\) Н/кг), или \(\approx 2{,}1\) кг при \(g=9{,}8\) Н/кг.
Как решать
Коробку тянут равномерно, значит ускорение равно нулю: силы по горизонтали и вертикали уравновешены.
Пусть верёвка направлена вверх под углом \(60^\circ\) к горизонту. Тогда:
\[ T_x=T\cos60^\circ,\qquad T_y=T\sin60^\circ \]
По вертикали:
\[ N+T\sin60^\circ=mg \]
откуда
\[ N=mg-T\sin60^\circ \]
Сила трения:
\[ F_{\text{тр}}=\mu N=\mu(mg-T\sin60^\circ) \]
По горизонтали при равномерном движении:
\[ T\cos60^\circ=F_{\text{тр}} \]
Подставляем:
\[ T\cos60^\circ=\mu(mg-T\sin60^\circ) \]
Выражаем массу:
\[ m=\frac{T(\cos60^\circ+\mu\sin60^\circ)}{\mu g} \]
Подставим \(T=12\) Н, \(\mu=0{,}6\), \(\cos60^\circ=0{,}5\), \(\sin60^\circ\approx0{,}866\):
\[ m=\frac{12(0{,}5+0{,}6\cdot0{,}866)}{0{,}6g} \approx \frac{12{,}24}{0{,}6g} \]
Если \(g=10\):
\[ m\approx2{,}04\ \text{кг}\approx2{,}0\ \text{кг} \]
Проверка:
\(T\cos60^\circ=12\cdot0{,}5=6\) Н.
При \(m\approx2{,}04\) кг и \(g=10\):
\(N\approx20{,}4-12\cdot0{,}866\approx10\) Н,
\(F_{\text{тр}}=0{,}6\cdot10=6\) Н.
Горизонтальная тяга и трение равны — движение равномерное.
Ответ: \(\boxed{m\approx2{,}0\text{ кг}}\) (примерно \(2{,}1\) кг, если брать \(g=9{,}8\)).
Обсуждение
6 сообщенийПрименить второй закон ньютона
Второй закон Ньютона в векторном виде. На коробку действуют четыре силы:
\[ \vec{T}+m\vec{g}+\vec{N}+\vec{F}_{\text{тр}}=m\vec{a} \]
Коробку тянут равномерно, поэтому \(\vec{a}=0\) и
\[ \vec{T}+m\vec{g}+\vec{N}+\vec{F}_{\text{тр}}=0 \]
Выбор осей: \(Ox\) — вдоль поверхности по направлению движения, \(Oy\) — перпендикулярно поверхности вверх.
Проекции второго закона Ньютона:
\[ Ox:\quad T\cos60^\circ-F_{\text{тр}}=0 \]
\[ Oy:\quad N+T\sin60^\circ-mg=0 \]
Закон трения:
\[ F_{\text{тр}}=\mu N \]
Из уравнения по \(Oy\):
\[ N=mg-T\sin60^\circ \]
Подставляем в уравнение по \(Ox\):
\[ T\cos60^\circ=\mu\left(mg-T\sin60^\circ\right) \]
Выражаем массу:
\[ T\cos60^\circ=\mu mg-\mu T\sin60^\circ \]
\[ \mu mg=T\left(\cos60^\circ+\mu\sin60^\circ\right) \]
\[ m=\frac{T\left(\cos60^\circ+\mu\sin60^\circ\right)}{\mu g} \]
Подстановка чисел (\(T=12\) Н, \(\mu=0{,}6\), \(\cos60^\circ=0{,}5\), \(\sin60^\circ\approx0{,}866\)):
\[ m=\frac{12\left(0{,}5+0{,}6\cdot0{,}866\right)}{0{,}6\cdot10} =\frac{12\cdot1{,}0196}{6}\approx2{,}04\ \text{кг} \]
Проверка по второму закону:
\[ T\cos60^\circ=6\ \text{Н},\qquad N=20{,}4-10{,}39\approx10\ \text{Н} \]
\[ F_{\text{тр}}=0{,}6\cdot10=6\ \text{Н} \]
Горизонтальная составляющая тяги равна силе трения, суммарная сила равна нулю — движение действительно равномерное.
Ответ: \(\boxed{m\approx2{,}0\ \text{кг}}\) (при \(g=9{,}8\) Н/кг получается \(\approx2{,}1\) кг).
Почему все силы = ускорению на массу?
Коротко: не «каждая сила равна \(ma\)», а векторная сумма всех сил равна \(ma\). Это не вывод из чего-то, а сам второй закон Ньютона — обобщение опытов: ускорение тела создаёт не отдельная сила, а равнодействующая всех сил.
\[ \vec{F}_{\text{равнод}}=\vec{F}_1+\vec{F}_2+\dots=m\vec{a} \]
Почему именно сумма, а не отдельные силы
Силы действуют на тело одновременно, и в механике Ньютона они складываются по правилу векторов (принцип суперпозиции). Опыт показывает: если силы друг друга уравновешивают, ускорения нет, даже когда силы большие. И наоборот: маленькая равнодействующая даёт маленькое ускорение.
Пример: толкаешь коробку с силой \(10\) Н, а трение — \(6\) Н. Ускорение определяется не \(10\) Н и не \(6\) Н, а их разностью:
\[ F_{\text{равнод}}=10-6=4\ \text{Н},\qquad a=\frac{4}{m} \]
Связь с нашей задачей
Там как раз \(\vec{a}=0\), поэтому
\[ \vec{T}+m\vec{g}+\vec{N}+\vec{F}_{\text{тр}}=0 \]
То есть силы не «исчезли» — они взаимно скомпенсировались, и суммарная сила равна нулю. Поэтому в проекциях и получились два уравнения: по \(Ox\) тяга уравновешена трением, по \(Oy\) — вес уравновешен нормальной реакцией и вертикальной составляющей натяжения.
Частая ошибка
Писать \(T=ma\) или \(mg=ma\) — это значит учитывать только одну силу и забывать остальные. Второй закон всегда записывают для всех сил сразу.
Проверка понимания: если на тело действуют силы \(5\) Н вправо и \(5\) Н влево, чему равно ускорение? → \(a=0\), хотя силы есть. Именно это и означает «сумма всех сил равна \(ma\)».
Что за буква Т и N
В этой задаче:
\(T\) — сила натяжения верёвки (от англ. tension). Она направлена вдоль верёвки, то есть под углом \(60^\circ\) к горизонту. Измеряется в ньютонах: \(T=12\) Н.
\(N\) — сила нормальной реакции опоры (от англ. normal — «перпендикулярный»). Это сила, с которой поверхность действует на коробку перпендикулярно поверхности, вверх. Она не равна автоматически \(mg\): в этой задаче часть веса «снимает» вертикальная составляющая натяжения верёвки, поэтому
\[ N=mg-T\sin60^\circ. \]
Не путай:
- \(N\) в формуле — это сила реакции опоры;
- Н (русская буква) — единица силы «ньютон».
То есть \(T\) и \(N\) — просто обозначения двух сил, действующих на коробку.
