Реши задание на изображении
Кратко: в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а диагонали равны.
Заполнение пропусков:
- Углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны.
- В равнобедренной трапеции диагонали равны.
Доказательство:
- Углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны.
Дано: трапеция \(ABCD\), \(BC\) и \(AD\) — основания, \(AB=CD\).
Доказать: \(\angle A=\angle D,\ \angle B=\angle C\).
а) Проведём \(BO\parallel \mathbf{CD}\). Тогда \(\angle 3=\angle 2\) как соответственные углы при параллельных прямых \(BO\) и \(\mathbf{CD}\) и секущей \(AD\).
б) Так как \(BC\parallel AD\) — основания трапеции, и \(\mathbf{BO}\parallel CD\) по построению, четырёхугольник \(OBCD\) — параллелограмм, и по свойству параллелограмма \(CD=\mathbf{BO}\).
в) Поскольку \(AB=\mathbf{CD}=BO\), треугольник \(ABO\) равнобедренный, значит, \(\angle1=\angle\mathbf{3}\). Тогда \(\angle1\mathbf{=}\angle2\), то есть \(\angle A=\angle\mathbf{D}\).
г) Так как в трапеции
\[
\angle A+\angle B=\angle D+\angle\mathbf{C}=180^\circ,
\]
то \(\angle\mathbf{B}=\angle C\).
Таким образом, в трапеции \(ABCD\)
\[
\angle A=\angle\mathbf{D},\qquad \angle B=\angle\mathbf{C},
\]
что и требовалось доказать.
Почему это работает: \(BO\parallel CD\) даёт параллелограмм \(OBCD\), откуда \(BO=CD\). Но \(AB=CD\), значит, \(AB=BO\), поэтому треугольник \(ABO\) равнобедренный. Далее равенство соответственных углов даёт \(\angle A=\angle D\), а суммы углов, прилежащих к боковой стороне, дают \(\angle B=\angle C\).
