Упростите выражения Cos(pi-alpha)tg(pi/2 +alpha)/ctg(2pi-alpha)sin(pi/alpha+alpha)

Судя по виду задания, в записи sin(pi/alpha+alpha) опечатка: обычно здесь стоит
\(\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\). Тогда ответ:

\[ \boxed{-1} \] при \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\), \(k\in\mathbb Z\).

Как получили

Используем формулы приведения:

\[ \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, \qquad \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\operatorname{ctg}\alpha, \]

\[ \operatorname{ctg}(2\pi-\alpha)=\operatorname{ctg}(-\alpha)=-\operatorname{ctg}\alpha, \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha. \]

Подставляем в выражение:

\[ \frac{\cos(\pi-\alpha)\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)} {\operatorname{ctg}(2\pi-\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)} = \frac{(-\cos\alpha)(-\operatorname{ctg}\alpha)} {(-\operatorname{ctg}\alpha)\cos\alpha}. \]

В числителе знаки дают плюс, в знаменателе тоже:

\[ \frac{\cos\alpha\operatorname{ctg}\alpha} {-\operatorname{ctg}\alpha\cos\alpha}=-1. \]

Проверка на угле

Возьмём \(\alpha=30^\circ\). Тогда \(\cos150^\circ<0\), \(\operatorname{tg}120^\circ<0\), их произведение положительно; знаменатель получается отрицательным. Отношение равно \(-1\). Всё сходится.

Если в твоём условии в последнем множителе действительно \(\sin(\pi+\alpha)\), а не \(\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\), то ответ будет другим: \(\operatorname{ctg}\alpha\). Уточни, пожалуйста, этот момент по учебнику.