Реши задание на изображении

Кратко:

• № 167: было 8 машин.
• Для графика \(y=2x^2-12x+16\): это парабола, ветви вверх, вершина \((3;-2)\), нули \(x=2\) и \(x=4\).

№ 167

Пусть \(n\) — число машин, \(M\) — масса груза в тоннах.

Если грузить по \(3{,}5\) т, то \(4\) т остаются недогруженными: \[ M=3{,}5n+4. \]

Если грузить по \(4{,}5\) т, то до полной загрузки не хватает \(4\) т: \[ M=4{,}5n-4. \]

Приравниваем: \[ 3{,}5n+4=4{,}5n-4 \] \[ n=8. \]

Проверка: \[ 3{,}5\cdot 8+4=32,\qquad 4{,}5\cdot 8-4=32. \]

Ответ: 8 машин, всего 32 т груза.

Контрольные вопросы

1. Квадратичная функция — это функция вида \[ y=ax^2+bx+c, \] где \(a\ne 0\), \(b,c\) — числа, \(x\in\mathbb R\).

2. График \(y=ax^2\) — парабола с вершиной в точке \((0;0)\), ось симметрии — ось \(Oy\).

• При \(a>0\) ветви направлены вверх; наименьшее значение \(0\) при \(x=0\); функция убывает на \((-\infty;0]\) и возрастает на \([0;+\infty)\).
• При \(a<0\) ветви направлены вниз; наибольшее значение \(0\) при \(x=0\); функция возрастает на \((-\infty;0]\) и убывает на \([0;+\infty)\).
• Чем больше \(|a|\), тем «уже» парабола.

3.
а) \(y=ax^2+n\) — сдвиг графика \(y=ax^2\) вдоль оси \(Oy\) на \(n\) единиц: вверх при \(n>0\), вниз при \(n<0\).
б) \(y=a(x-m)^2\) — сдвиг вдоль оси \(Ox\) на \(m\): вправо при \(m>0\), влево при \(m<0\).
в) \(y=a(x-m)^2+n\) — сдвиг на вектор \((m;n)\).

4. График функции \[ y=ax^2+bx+c \] — тоже парабола. Координата вершины: \[ x_0=-\frac{b}{2a},\qquad y_0=y(x_0). \] Ось симметрии: \(x=x_0\). Если \(a>0\), ветви вверх; если \(a<0\) — вниз.

Пример: \(y=2x^2-12x+16\)

Выделим полный квадрат: \[ y=2(x^2-6x)+16= 2\bigl((x-3)^2-9\bigr)+16= 2(x-3)^2-2. \]

Значит, вершина параболы: \[ V(3;-2). \]

Нули функции: \[ 2x^2-12x+16=0 \] \[ x^2-6x+8=0 \] \[ x=2,\quad x=4. \]

Дополнительные точки:

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline y&16&6&0&-2&0&6&16 \end{array} \]

Строим точки и соединяем их плавной симметричной кривой относительно прямой \(x=3\). Ветви направлены вверх, так как \(a=2>0\).