Реши задание на изображении

Кратко. Достаточно доказать утверждение для двух соседних равных отрезков. Если \(AB=BC\) на первой прямой, а параллельные прямые через \(A,B,C\) пересекают вторую прямую в точках \(A',B',C'\), то \(A'B'=B'C'\). Повторяя это для каждой соседней пары, получаем равенство всех отсечённых отрезков.

Доказательство.

Пусть на первой прямой точки \(A,B,C\) идут подряд и
\[ AB=BC. \] Через \(A,B,C\) проведены параллельные прямые, пересекающие вторую прямую в \(A',B',C'\).

Если первая и вторая прямые параллельны, то \(ABB'A'\) и \(BCC'B'\) — параллелограммы, поэтому сразу \[ A'B'=AB=BC=B'C'. \]

Пусть прямые не параллельны. Проведём через \(B'\) прямую \(d\parallel AB\). Она пересечёт \(AA'\) в точке \(D\), а \(CC'\) — в точке \(E\).

Так как \(AB\parallel DB'\) и \(AD\parallel BB'\), четырёхугольник \(ABB'D\) — параллелограмм, значит \[ DB'=AB. \] Аналогично \(BCEB'\) — параллелограмм, поэтому \[ B'E=BC. \] Но \(AB=BC\), следовательно, \[ DB'=B'E. \]

Рассмотрим треугольники \(DB'A'\) и \(EB'C'\). У них:

• \(DB'=B'E\);
• \(\angle DB'A'=\angle EB'C'\) как вертикальные;
• \(\angle B'DA'=\angle B'EC'\), так как \(DA'\parallel EC'\).

Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому \[ A'B'=B'C'. \]

Для остальных соседних отрезков рассуждение такое же. Следовательно, на второй прямой все отсечённые отрезки равны.

Смысл теоремы: параллельные прямые «проектируют» точки с одной прямой на другую, сохраняя равенство отрезков; сами длины при этом могут измениться, но остаются равными между собой.