Реши задание на изображении

Краткий ответ. Нужно доказать теорему Фалеса: если на прямой \(l_1\) отложены равные отрезки \[ A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=\ldots, \] а через их концы проведены параллельные прямые, пересекающие \(l_2\) в точках \(B_1,B_2,B_3,\ldots\), то \[ B_1B_2=B_2B_3=B_3B_4=\ldots \]

Доказательство

1. Случай \(l_1\parallel l_2\) (рис. 196, а).

Тогда четырёхугольник \(A_1B_1B_2A_2\) — параллелограмм: его противоположные стороны параллельны. Значит, \[ A_1A_2=B_1B_2. \] Аналогично из параллелограмма \(A_2B_2B_3A_3\): \[ A_2A_3=B_2B_3. \] Но \(A_1A_2=A_2A_3\), поэтому \[ B_1B_2=B_2B_3. \]

2. Общий случай, когда \(l_1\) и \(l_2\) не параллельны (рис. 196, б).

Проведём через \(B_1\) прямую \(m\parallel l_1\). Пусть она пересекает \(A_2B_2\) в точке \(C\), а \(A_3B_3\) — в точке \(D\).

Так как \(l_1\parallel m\), а прямые \(A_1B_1\), \(A_2B_2\), \(A_3B_3\) параллельны, по уже доказанному случаю: \[ B_1C=CD. \] Значит, \(C\) — середина отрезка \(B_1D\).

Теперь рассмотрим треугольник \(B_1DB_3\). В нём \(C\) — середина стороны \(B_1D\), а \(CB_2\parallel DB_3\). По лемме о средней линии прямая, проходящая через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, проходит через середину третьей стороны. Значит, \(B_2\) — середина \(B_1B_3\), то есть \[ B_1B_2=B_2B_3. \]

Для следующих отрезков рассуждение повторяется, поэтому \[ B_1B_2=B_2B_3=B_3B_4=\ldots \]

Что важно понять: параллельные прямые «переносят» равенство отрезков с одной прямой на другую. Если прямые уже параллельны, работают параллелограммы; если нет — добавляем вспомогательную параллельную прямую и сводим задачу к треугольнику.