204

Краткий ответ:
а) \(x=-2\);
б) \(x=\pm \dfrac15\).

а) \((8x-1)(2x-3)-(4x-1)^2=38\)

Сначала раскрываем скобки и квадрат:

\[ (8x-1)(2x-3)=16x^2-24x-2x+3=16x^2-26x+3 \]

\[ (4x-1)^2=16x^2-8x+1 \]

Подставляем:

\[ 16x^2-26x+3-(16x^2-8x+1)=38 \]

\[ -18x+2=38 \]

\[ -18x=36 \]

\[ x=-2 \]

Проверка:
\[ (8(-2)-1)(2(-2)-3)- (4(-2)-1)^2 =(-17)(-7)-(-9)^2=119-81=38 \] Верно.

б) \(\dfrac{(15x-1)(1+15x)}3=2\dfrac23\)

\[ 2\dfrac23=\dfrac83 \]

Умножаем обе части на \(3\):

\[ (15x-1)(15x+1)=8 \]

Применяем формулу \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\):

\[ 225x^2-1=8 \]

\[ 225x^2=9 \]

\[ x^2=\frac{9}{225}=\frac1{25} \]

\[ x=\pm\frac15 \]

Проверка: при \(x=\frac15\) получаем \(\frac{2\cdot4}{3}=\frac83\), при \(x=-\frac15\) также \(\frac{(-4)(-2)}3=\frac83\).

Принцип: в линейном уравнении после раскрытия скобок \(x^2\) сокращается, поэтому корень один. В уравнении с квадратом получаем \(x^2=a\), и если \(a>0\), корней два: \(x=\pm\sqrt a\).