Реши задание на изображении

Кратко:

1. \(n^3-n\) кратно \(3\) при любом натуральном \(n\).
2. \(x=\pm\sqrt3;\ \pm\sqrt6\).
3. \(\dfrac{2m-1}{n-3}\), при \(m\ne2,\ n\ne3\).
4. \(x\in\left(-\infty;-\sqrt{\frac{17}{2}}\right)\cup\left(\sqrt{\frac{17}{2}};+\infty\right)\).

Как это получается

1. \[ n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)=(n-1)n(n+1). \] Это произведение трёх подряд идущих целых чисел. Среди них обязательно есть число, кратное \(3\), значит и всё произведение делится на \(3\).

2. Пусть \(t=x^2\), тогда \[ t^2-9t+18=0. \] По теореме, обратной теореме Виета: \[ t_1+t_2=9,\quad t_1t_2=18, \] поэтому \[ t_1=3,\quad t_2=6. \] Значит: \[ x^2=3 \Rightarrow x=\pm\sqrt3, \] \[ x^2=6 \Rightarrow x=\pm\sqrt6. \]

Проверка: \[ (x^2-3)(x^2-6)=x^4-9x^2+18. \]

3. Раскладываем числитель и знаменатель: \[ 2m^2-5m+2=(2m-1)(m-2), \] \[ mn-2n-3m+6=n(m-2)-3(m-2)=(m-2)(n-3). \] Тогда: \[ \frac{2m^2-5m+2}{mn-2n-3m+6} = \frac{(2m-1)(m-2)}{(m-2)(n-3)} = \frac{2m-1}{n-3}. \] Здесь \(m\ne2\), \(n\ne3\), иначе исходная дробь не имеет смысла.

4. \[ x^2+7<3x^2-10 \] \[ 17<2x^2 \] \[ x^2>\frac{17}{2} \] \[ |x|>\sqrt{\frac{17}{2}}. \] Отсюда: \[ x\in\left(-\infty;-\sqrt{\frac{17}{2}}\right)\cup\left(\sqrt{\frac{17}{2}};+\infty\right). \]