Чыгарылышын чыгарып бер

Кыска җавап

$$x^4-9x^2+18=0 ;\Longrightarrow; x=\pm\sqrt3,\quad x=\pm\sqrt6$$

Ничек чишелә (принцип)

Бу — биквадрат тигезләмә: анда $x$ тик квадрат рәвешендә очрый. Аны квадрат тигезләмәгә әйләндереп чишәбез.

1. Яңа үзгәрүчән кертү. $t=x^2$ дип алабыз, монда $t\ge 0$ (квадрат тискәре була алмый). Шул вакытта $x^4=t^2$, һәм тигезләмә болай була:

$$t^2-9t+18=0$$

2. Квадрат тигезләмәне чишәбез. Дискриминант:

$$D=(-9)^2-4\cdot1\cdot18=81-72=9,\qquad \sqrt D=3$$

$$t_{1,2}=\frac{9\pm3}{2};\Rightarrow; t_1=6,\quad t_2=3$$

Ике тамыр да уңай, димәк, алар икесе дә ярый.

3. Кире кертү. Хәзер $t$-ны $x^2$-ка әйләндерәбез:

• $x^2=6 \Rightarrow x=\pm\sqrt6$
• $x^2=3 \Rightarrow x=\pm\sqrt3$

Ни өчен $\pm$? $x^2=a$ тигезләмәсенең $a>0$ булганда һәрвакыт ике тамыры бар: берсе уңай, берсе тискәре, чөнки $(-\sqrt a)^2=(\sqrt a)^2=a$. Әгәр $t<0$ булса, $x^2=t$ тигезләмәсенең чын тамыры булмый — шуңа күрә $t\ge0$ шартын тикшерергә кирәк.

Тикшерү

• Виет буенча: $6+3=9$, $6\cdot3=18$ — дөрес.
• $x=\sqrt3$: $(\sqrt3)^4=9$, $9-9\cdot3+18=9-27+18=0$ ✓
• $x=\sqrt6$: $(\sqrt6)^4=36$, $36-9\cdot6+18=36-54+18=0$ ✓

Җавап: $x_1=\sqrt3,; x_2=-\sqrt3,; x_3=\sqrt6,; x_4=-\sqrt6$.

Охшаш тигезләмәне дә шулай чишәсең: $x^2$-ны $t$-га алыштыр → квадрат тигезләмәне чиш → тамырларның уңайлыгын тикшер → кире керт → $\pm$ куй.