Упр 245

Краткий ответ:

245. а) \((-3;6)\), \((10;-7)\);
     б) \((-2;-1)\), \((-1;0)\);
     в) \((-3;5)\), \((2;10)\);
     г) \((1;3)\), \((2;2)\).

Принцип способа подстановки: из одного уравнения выражаем одну переменную и подставляем это выражение во второе уравнение. Получаем уравнение с одной переменной, решаем его, а затем находим вторую переменную. Ответ записываем парами \((x;y)\).

а)

\[ \begin{cases} x=3-y,\\ y^2-x=39. \end{cases} \] Подставляем \(x=3-y\): \[ y^2-(3-y)=39, \] \[ y^2+y-42=0, \] \[ (y-6)(y+7)=0. \] Значит, \(y=6\) или \(y=-7\).

Тогда:

• при \(y=6\): \(x=3-6=-3\);
• при \(y=-7\): \(x=3-(-7)=10\).

Ответ: \((-3;6)\), \((10;-7)\).

б)

\[ \begin{cases} y=1+x,\\ x+y^2=-1. \end{cases} \] Подставляем \(y=1+x\): \[ x+(1+x)^2=-1, \] \[ x^2+3x+2=0, \] \[ (x+1)(x+2)=0. \] Значит, \(x=-1\) или \(x=-2\).

Тогда:

• при \(x=-1\): \(y=1-1=0\);
• при \(x=-2\): \(y=1-2=-1\).

Ответ: \((-1;0)\), \((-2;-1)\).

В порядке возрастания \(x\): \((-2;-1)\), \((-1;0)\).

в)

\[ \begin{cases} x^2+y=14,\\ y-x=8. \end{cases} \] Из второго уравнения: \[ y=x+8. \] Подставляем: \[ x^2+x+8=14, \] \[ x^2+x-6=0, \] \[ (x+3)(x-2)=0. \] Значит, \(x=-3\) или \(x=2\).

Тогда:

• при \(x=-3\): \(y=-3+8=5\);
• при \(x=2\): \(y=2+8=10\).

Ответ: \((-3;5)\), \((2;10)\).

г)

\[ \begin{cases} x+y=4,\\ y+xy=6. \end{cases} \] Из первого уравнения: \[ y=4-x. \] Подставляем во второе: \[ (4-x)+x(4-x)=6, \] \[ 4-x+4x-x^2=6, \] \[ -x^2+3x-2=0, \] \[ x^2-3x+2=0, \] \[ (x-1)(x-2)=0. \] Значит, \(x=1\) или \(x=2\).

Тогда:

• при \(x=1\): \(y=4-1=3\);
• при \(x=2\): \(y=4-2=2\).

Ответ: \((1;3)\), \((2;2)\).

Все найденные пары можно проверить подстановкой в исходные уравнения — они подходят. Главное: после нахождения корней не забыть для каждого корня отдельно вычислить вторую переменную.