x+7<3x²-10

Краткий ответ: \[ x\in\left(-\infty;\frac{1-\sqrt{205}}{6}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{205}}{6};+\infty\right). \]

Как решать:

1. Перенесём всё в одну сторону: \[ x+7<3x^2-10 \] \[ 3x^2-x-17>0 \]

2. Найдём нули выражения, решив уравнение: \[ 3x^2-x-17=0 \] \[ D=(-1)^2-4\cdot3\cdot(-17)=1+204=205 \] \[ x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{205}}{6} \] То есть: \[ x_1=\frac{1-\sqrt{205}}{6},\qquad x_2=\frac{1+\sqrt{205}}{6} \]

3. Это парабола, у которой коэффициент при \(x^2\) равен \(3>0\), значит ветви направлены вверх. Выражение \(3x^2-x-17\) больше нуля вне корней.

4. Так как неравенство строгое, сами корни не включаем: \[ x<\frac{1-\sqrt{205}}{6} \quad\text{или}\quad x>\frac{1+\sqrt{205}}{6} \]

Проверка: Например, \(x=0\): \[ 0+7<3\cdot0^2-10 \Rightarrow 7<-10 \] — неверно, значит \(0\) не входит. Он и лежит между корнями.

А \(x=3\): \[ 10<27-10=17 \] — верно, значит точки справа от большего корня подходят.

Ответ: \[ \boxed{x\in\left(-\infty;\frac{1-\sqrt{205}}{6}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{205}}{6};+\infty\right)} \]

Принцип: квадратное неравенство решаем через корни и знак параболы: если ветви вверх, то выражение \(>0\) там, где \(x\) левее меньшего корня или правее большего.