упр 246

Ответ (упр. 246):

а) \((2;-1)\), \((1;-2)\);

б) \((1{,}5;1)\), \((1;1{,}5)\).

Как решать способом подстановки

1. Выражаем одну переменную через другую.
2. Подставляем во второе уравнение.
3. Получаем квадратное уравнение и находим его корни.
4. Возвращаемся к выраженной переменной.
5. Записываем пары значений и проверяем их.

а)

\[ \begin{cases} x-y=3,\\ xy=-2. \end{cases} \]

Из первого уравнения: \[ x=y+3. \]

Подставляем во второе: \[ (y+3)y=-2 \] \[ y^2+3y+2=0 \] \[ (y+1)(y+2)=0. \]

Значит: \[ y=-1 \quad \text{или} \quad y=-2. \]

Тогда:

• если \(y=-1\), то \(x=-1+3=2\);
• если \(y=-2\), то \(x=-2+3=1\).

Получаем: \[ (2;-1),\quad (1;-2). \]

Проверка для \((2;-1)\): \[ 2-(-1)=3,\qquad 2\cdot(-1)=-2. \] Верно.

б)

\[ \begin{cases} x+y=2{,}5,\\ xy=1{,}5. \end{cases} \]

Пусть \(2{,}5=\frac52\), \(1{,}5=\frac32\).

Из первого уравнения: \[ y=\frac52-x. \]

Подставляем: \[ x\left(\frac52-x\right)=\frac32. \]

Умножаем на 2: \[ 5x-2x^2=3, \] \[ 2x^2-5x+3=0. \]

Дискриминант: \[ D=25-24=1. \]

Корни: \[ x=\frac{5\pm1}{4}. \]

То есть: \[ x=1{,}5 \quad \text{или} \quad x=1. \]

Тогда:

• если \(x=1{,}5\), то \(y=1\);
• если \(x=1\), то \(y=1{,}5\).

Получаем: \[ (1{,}5;1),\quad (1;1{,}5). \]

Проверка:
Для \((1{,}5;1)\): \[ 1{,}5+1=2{,}5,\qquad 1{,}5\cdot1=1{,}5. \] Верно.

Главное правило: после подстановки обязательно возвращайся ко второй переменной — одной найденной переменной недостаточно, нужна пара значений.