Из вершины угла, равного 80°, проведен луч, перпендикулярный биссектрисе угла. Какие углы образует этот луч со сторонами этого угла?

Краткий ответ: луч образует со сторонами угла углы 50° и 130° (с одной стороной 50°, с другой 130°; если выбрать противоположный луч, они поменяются местами).

Как понять:

Пусть дан угол \(\angle AOB=80^\circ\), а \(OC\) — его биссектриса. Тогда

\[ \angle AOC=\angle COB=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ. \]

Проведём из вершины \(O\) луч \(OD\), перпендикулярный биссектрисе:

\[ \angle COD=90^\circ. \]

Луч \(OD\) лежит вне угла, поэтому с ближайшей стороной он образует угол

\[ 90^\circ-40^\circ=50^\circ, \]

а с другой стороной —

\[ 90^\circ+40^\circ=130^\circ. \]

Проверка: \(50^\circ+130^\circ=180^\circ\), что согласуется с расположением луча вне угла.