Упр 246, в,г
Краткий ответ
в) \((0;-1)\) и \((-1;0)\);
г) \(\left(\dfrac{21}{4};\dfrac{13}{4}\right)\), то есть \((5{,}25;3{,}25)\).
Общий принцип
- Из более простого уравнения выражаем одну переменную через другую.
- Подставляем это выражение во второе уравнение.
- Решаем полученное уравнение с одной переменной.
- Для каждого найденного значения находим вторую переменную.
- Проверяем полученные пары.
246 в
\[ \begin{cases} x+y=-1,\\ x^2+y^2=1. \end{cases} \]
Из первого уравнения:
\[ y=-1-x. \]
Подставляем во второе:
\[ x^2+(-1-x)^2=1. \]
Раскрываем скобки:
\[ x^2+(x+1)^2=1, \]
\[ x^2+x^2+2x+1=1, \]
\[ 2x^2+2x=0, \]
\[ 2x(x+1)=0. \]
Значит:
\[ x=0 \quad \text{или} \quad x=-1. \]
Теперь находим \(y\):
- если \(x=0\), то \(y=-1-0=-1\);
- если \(x=-1\), то \(y=-1-(-1)=0\).
Получаем две пары:
\[ (0;-1), \quad (-1;0). \]
Проверка:
\[ 0+(-1)=-1,\qquad 0^2+(-1)^2=1; \]
\[ -1+0=-1,\qquad (-1)^2+0^2=1. \]
Всё верно.
246 г
\[ \begin{cases} x-y=2,\\ x^2-y^2=17. \end{cases} \]
Из первого уравнения:
\[ x=y+2. \]
Подставляем во второе:
\[ (y+2)^2-y^2=17. \]
Раскрываем скобки:
\[ y^2+4y+4-y^2=17, \]
\[ 4y+4=17, \]
\[ 4y=13, \]
\[ y=\frac{13}{4}. \]
Тогда:
\[ x=y+2=\frac{13}{4}+\frac{8}{4}=\frac{21}{4}. \]
Ответ:
\[ \left(\frac{21}{4};\frac{13}{4}\right). \]
Проверка:
\[ \frac{21}{4}-\frac{13}{4}=\frac{8}{4}=2, \]
\[ \left(\frac{21}{4}\right)^2-\left(\frac{13}{4}\right)^2 =\frac{441-169}{16} =\frac{272}{16}=17. \]
Полезный приём для задания г. Можно было заметить, что
\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]
Так как \(x-y=2\), то
\[ 2(x+y)=17, \]
\[ x+y=8{,}5. \]
Дальше из \(x-y=2\) и \(x+y=8{,}5\) легко найти \(x\) и \(y\). Но важно не путать разность квадратов с квадратом разности: \(x^2-y^2\neq(x-y)^2\).
Главное на будущее: из уравнения с одной переменной может получиться несколько корней — для каждого нужно отдельно найти вторую переменную. Поэтому в пункте в) получилось две пары, а не одна.
