Жобу?

Жообу

\[ x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z;\qquad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \]

Кадамдар

1. Биринчи жана үчүнчү мүчөнү топтоштурабыз. Кошундуну көбөйтүндүгө айландыруу формуласын колдонобуз:

\[ \sin x+\sin 3x=2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{x-3x}{2}=2\sin 2x\cos(-x)=2\sin 2x\cos x. \]

(\(\cos(-x)=\cos x\) экенин эстен чыгарбайбыз.)

2. Теңдеме мындай болот:

\[ 2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0. \]

3. Жалпы көбөйтүүчүнү чыгарабыз:

\[ \sin 2x\,(2\cos x+1)=0. \]

Көбөйтүндү нөлгө барабар болушу үчүн, жок дегенде бир көбөйтүүчү нөлгө барабар болушу керек — ушундан эки учур келип чыгат.

4. Биринчи учур:

\[ \sin 2x=0 \;\Rightarrow\; 2x=\pi n \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z. \]

5. Экинчи учур:

\[ 2\cos x+1=0 \;\Rightarrow\; \cos x=-\frac12,\qquad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\; k\in\mathbb Z. \]

Текшерүү

• \(x=\pi\): \(\sin\pi+\sin2\pi+\sin3\pi=0+0+0=0\) ✓
• \(x=\frac{\pi}{2}\): \(1+0+(-1)=0\) ✓
• \(x=\frac{2\pi}{3}\): \(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}+0=0\) ✓

Принцип (окшош тапшырмага)

\(\sin a+\sin b\) түрүндөгү мүчөлөрдү «\(2\sin(\text{орто})\cos(\text{жарым айырма})\)» формуласы менен көбөйтүндүгө айландырсаң, теңдеме \(\text{көбөйтүүчү}=0\) түрүнө келип, ар бир көбөйтүүчүнү өзүнчө чечсең болот. Бул — тригонометриялык теңдемелерди чыгаруунун эң негизги ыкмасы: айырманы көбөйтүндүгө айландыруу.