Решай как школьной программе
Полностью на фото читается №114 — решаю его. В №115–116 часть условий обрезана, поэтому их не угадываю.
Краткие ответы:
а) \((-8;6)\)
б) \(\left(-\infty;\frac32\right)\cup(2;+\infty)\)
в) \((-\infty;-3)\cup(5;+\infty)\)
г) \(\left(1;\frac65\right)\)
д) \(\left(-\infty;\frac32\right)\cup\left(\frac32;+\infty\right)\)
е) \(\varnothing\) — решений нет
ж) \(\left(0;\frac9{10}\right)\)
з) \((-\infty;0)\cup\left(\frac72;+\infty\right)\)
Как рассуждать
- Находим корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\).
- Если \(a>0\), парабола ветвями вверх:
- при знаке \(<\) берём промежуток между корнями;
- при знаке \(>\) — вне корней.
- Если \(a<0\), можно умножить неравенство на \(-1\), но тогда знак неравенства меняется.
- Неравенства строгие, поэтому корни не включаем — скобки круглые.
Ключевые шаги
а) \(x^2+2x-48=(x+8)(x-6)\). Корни \(-8\) и \(6\), \(a>0\), знак \(<\) — между корнями:
\[
(-8;6)
\]
б) \(2x^2-7x+6=(2x-3)(x-2)\). Корни \(\frac32\) и \(2\), знак \(>\) — вне корней:
\[
\left(-\infty;\frac32\right)\cup(2;+\infty)
\]
в) Умножим на \(-1\):
\[
x^2-2x-15>0,\qquad (x-5)(x+3)>0
\]
Корни \(-3\) и \(5\), знак \(>\) — вне корней:
\[
(-\infty;-3)\cup(5;+\infty)
\]
г) Умножим на \(-1\):
\[
5x^2-11x+6<0,\qquad (5x-6)(x-1)<0
\]
Корни \(1\) и \(\frac65\), знак \(<\) — между корнями:
\[
\left(1;\frac65\right)
\]
д) \[ 4x^2-12x+9=(2x-3)^2>0 \] Квадрат положителен везде, кроме \(x=\frac32\): \[ \left(-\infty;\frac32\right)\cup\left(\frac32;+\infty\right) \]
е) \[ 25x^2+30x+9=(5x+3)^2<0 \] Квадрат не может быть отрицательным, значит: \[ \varnothing \]
ж) Умножим на \(-1\): \[ 10x^2-9x<0,\qquad x(10x-9)<0 \] Корни \(0\) и \(\frac9{10}\), знак \(<\) — между корнями: \[ \left(0;\frac9{10}\right) \]
з) Умножим на \(-1\): \[ 2x^2-7x>0,\qquad x(2x-7)>0 \] Корни \(0\) и \(\frac72\), знак \(>\) — вне корней: \[ (-\infty;0)\cup\left(\frac72;+\infty\right) \]
Проверка: например, в г) при \(x=1{,}1\): \[ -5\cdot1{,}21+12{,}1-6=0{,}05>0 \] — подходит. В з) при \(x=-1\): \[ -2-7=-9<0 \] — тоже верно.
Если нужен именно №115 или №116, пришли их полностью — там часть условий обрезана.
Обсуждение
4 сообщенияДай похожее неравенство для тренировки
Вот похожее неравенство:
\[ -3x^2+5x+2>0 \]
Подсказка: умножь обе части на \(-1\), не забудь поменять знак неравенства на \(<\), затем найди корни и определи нужный промежуток.
Пришли ответ — проверю.
Мне нужно решать как школе
Вот оформление «как в школе»:
\[ -3x^2+5x+2>0 \]
Умножим обе части на \(-1\), при этом знак неравенства меняется:
\[ 3x^2-5x-2<0 \]
Найдём нули функции:
\[ 3x^2-5x-2=0 \]
\[ D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49 \]
\[ x_{1,2}=\frac{5\pm7}{6} \]
\[ x_1=2,\qquad x_2=-\frac13 \]
Наносим корни на числовую прямую. Ветви параболы \(y=3x^2-5x-2\) направлены вверх, а нам нужны значения меньше нуля, значит берём промежуток между корнями:
\[ -\frac13<x<2 \]
Неравенство строгое, поэтому концы не включаем.
Ответ: \(\left(-\dfrac13;2\right)\)
