Реши задание на изображении

Ниже — задания 20–25 с фото.

Краткие ответы

20. \(x=-4;\ -1;\ 1\)
21. \(25\) км/ч
22. \(m=-1\) или \(m=4\)
23. \(84\)
24. Доказательство ниже
25. \(R=\dfrac{54}{5}=10{,}8\)

---

20. Уравнение

\[ x^3+4x^2-x-4=0 \]

Группируем:

\[ x^2(x+4)-(x+4)=0 \]

\[ (x+4)(x^2-1)=0 \]

\[ (x+4)(x-1)(x+1)=0 \]

Ответ: \(\boxed{-4;\ -1;\ 1}\).

---

21. Задача на движение по реке

Плот движется со скоростью течения, то есть \(5\) км/ч.
За время, пока лодка ходила, плот прошёл \(15\) км:

\[ t_{\text{плота}}=\frac{15}{5}=3\text{ ч} \]

Лодка вышла на час позже, значит, была в пути:

\[ 3-1=2\text{ ч} \]

Пусть \(v\) — собственная скорость лодки. По течению она идёт со скоростью \(v+5\), против течения — \(v-5\). Получаем:

\[ \frac{24}{v+5}+\frac{24}{v-5}=2 \]

\[ 48v=2(v^2-25) \]

\[ v^2-24v-25=0 \]

\[ (v-25)(v+1)=0 \]

Подходит \(v=25\).

Проверка:

\[ \frac{24}{30}+\frac{24}{20}=0{,}8+1{,}2=2\text{ ч} \]

Ответ: \(\boxed{25\text{ км/ч}}\).

---

22. График с модулем

\[ y=|x|(x+1)-3x \]

Раскрываем модуль.

Если \(x<0\), то \(|x|=-x\):

\[ y=-x(x+1)-3x=-x^2-4x=-(x+2)^2+4 \]

Это парабола ветвями вниз с вершиной \((-2;4)\).

Если \(x\ge 0\), то \(|x|=x\):

\[ y=x(x+1)-3x=x^2-2x=(x-1)^2-1 \]

Это парабола ветвями вверх с вершиной \((1;-1)\).

Строим обе части при соответствующих \(x\). Горизонтальная прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки в двух случаях:

• \(m=-1\) — касание в вершине правой параболы плюс одно пересечение с левой ветвью;
• \(m=4\) — касание в вершине левой параболы плюс одно пересечение с правой ветвью.

Ответ: \(\boxed{m=-1;\ m=4}\).

---

23. Биссектриса параллелограмма

Дано: \(BK=11\), \(CK=20\), значит,

\[ BC=BK+CK=11+20=31 \]

Так как \(AK\) — биссектриса угла \(A\),

\[ \angle BAK=\angle KAD \]

Но \(AD\parallel BC\), поэтому

\[ \angle KAD=\angle AKB \]

Значит,

\[ \angle BAK=\angle AKB \]

Треугольник \(ABK\) равнобедренный:

\[ AB=BK=11 \]

Периметр параллелограмма:

\[ P=2(AB+BC)=2(11+31)=84 \]

Ответ: \(\boxed{84}\).

---

24. Подобие треугольников

В трапеции \(BC\parallel AD\). Прямая \(BD\) — секущая, поэтому накрест лежащие углы равны:

\[ \angle CBD=\angle BDA \]

Теперь сравним стороны, образующие эти углы.

В треугольнике \(CBD\):

\[ \frac{BC}{BD}=\frac{2}{8}=\frac14 \]

В треугольнике \(BDA\):

\[ \frac{BD}{AD}=\frac{8}{32}=\frac14 \]

Получаем:

\[ \frac{BC}{BD}=\frac{BD}{AD} \]

Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны. По признаку подобия:

\[ \triangle CBD\sim \triangle BDA \]

Что и требовалось доказать.

---

25. Окружность, хорда и касательная

Пусть \(A=(0;0)\), \(AC\) — ось \(Ox\). Тогда

\[ M=(18;0),\quad N=(22;0) \]

Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к \(MN\), поэтому его абсцисса равна \(20\):

\[ O=(20;t) \]

Радиус:

\[ R^2=(20-18)^2+t^2=4+t^2 \]

Так как

\[ \cos\angle BAC=\frac{\sqrt{11}}6,\qquad \sin\angle BAC=\frac56 \]

расстояние от \(O\) до прямой \(AB\) равно

\[ d=\left|20\cdot\frac56-t\cdot\frac{\sqrt{11}}6\right| =\frac{|100-t\sqrt{11}|}{6} \]

Окружность касается луча \(AB\), значит \(d=R\):

\[ \frac{(100-t\sqrt{11})^2}{36}=4+t^2 \]

\[ 25t^2+200\sqrt{11}\,t-9856=0 \]

Корни:

\[ t_1=\frac{16\sqrt{11}}5,\qquad t_2=-\frac{56\sqrt{11}}5 \]

Для второго корня точка касания лежит на продолжении луча \(AB\), а не на самом луче, поэтому он не подходит.

Берём \(t=\frac{16\sqrt{11}}5\):

\[ R^2=4+\left(\frac{16\sqrt{11}}5\right)^2 =4+\frac{2816}{25} =\frac{2916}{25} \]

\[ R=\frac{54}{5}=10{,}8 \]

Ответ: \(\boxed{\frac{54}{5}=10{,}8}\).