Как узнать длину вектора

Кратко: длина вектора — это расстояние от его начала до конца.

Если \(\vec a=(x;y)\), то \[ |\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}. \]

В пространстве для \(\vec a=(x;y;z)\): \[ |\vec a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]

Если известны точки \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\), то сначала находим координаты вектора \(AB\): \[ \vec{AB}=(x_2-x_1;\ y_2-y_1), \] а потом его длину: \[ |AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. \]

Порядок действий:

1. Найти координаты вектора.
2. Возвести каждую координату в квадрат.
3. Сложить квадраты.
4. Извлечь корень.

Пример: \(\vec a=(3;-4)\). \[ |\vec a|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. \]

Принцип тот же, что у теоремы Пифагора: координаты вектора — это катеты, а длина вектора — гипотенуза. Через скалярное произведение это записывают так: \[ |\vec a|=\sqrt{\vec a\cdot\vec a}. \]