Упр 247

Ответ:

247. а) \((10;-2)\), \((-2;10)\);
     б) \((2;1{,}2)\), \((-1{,}2;-2)\).

а) Как решать

\[ \begin{cases} x+y=8,\\ xy=-20. \end{cases} \]

Если известны сумма \(x+y=8\) и произведение \(xy=-20\), то \(x\) и \(y\) — корни квадратного уравнения

\[ t^2-8t-20=0. \]

Находим дискриминант:

\[ D=(-8)^2-4\cdot1\cdot(-20)=64+80=144. \]

\[ t=\frac{8\pm12}{2}. \]

Получаем:

\[ t_1=10,\qquad t_2=-2. \]

Значит, переменные могут быть такими:

\[ x=10,\ y=-2 \]

или наоборот:

\[ x=-2,\ y=10. \]

Проверка: \(10+(-2)=8\), \(10\cdot(-2)=-20\). Всё верно.

---

б) Как решать

\[ \begin{cases} x-y=0{,}8,\\ xy=2{,}4. \end{cases} \]

Из первого уравнения выражаем \(x\):

\[ x=y+0{,}8. \]

Подставляем во второе:

\[ (y+0{,}8)y=2{,}4. \]

\[ y^2+0{,}8y-2{,}4=0. \]

Умножим на 5, чтобы удобнее считать:

\[ 5y^2+4y-12=0. \]

\[ D=4^2-4\cdot5\cdot(-12)=16+240=256. \]

\[ y=\frac{-4\pm16}{10}. \]

\[ y_1=\frac{12}{10}=1{,}2,\qquad y_2=\frac{-20}{10}=-2. \]

Теперь находим \(x\):

• если \(y=1{,}2\), то \(x=1{,}2+0{,}8=2\);
• если \(y=-2\), то \(x=-2+0{,}8=-1{,}2\).

Получаем пары:

\[ (2;1{,}2)\quad\text{и}\quad(-1{,}2;-2). \]

Проверка:
\(2-1{,}2=0{,}8\), \(2\cdot1{,}2=2{,}4\);
\(-1{,}2-(-2)=0{,}8\), \((-1{,}2)\cdot(-2)=2{,}4\). Всё верно.

Главный принцип: выражаем одну переменную через другую и подставляем во второе уравнение. Если видим сумму и произведение, как в пункте «а», можно сразу использовать теорему Виета или квадратное уравнение.