Реши задание на изображении
На фото упражнения 598–603. Ниже — все ответы; корни берём действительные.
Краткие ответы
598. \(-2;\ 2;\ 3\).
599.
а) \(0;\ 7\);
б) \(2{,}5\);
в) \(-2;\ 0;\ 2\);
г) \(-2;\ 2\).
600.
а) нет;
б) да, \(x=3\);
в) нет;
г) нет.
601. только \(3-\sqrt2\).
602.
а) \(-3;\ 2\);
б) \(\frac13;\ \frac23\);
в) \(-20;\ 5\);
г) \(-\frac14\);
д) действительных корней нет;
е) \(0;\ 5\).
603.
а) \(-1;\ \frac12\);
б) \(3\);
в) \(1-\sqrt5;\ 1+\sqrt5\);
г) \(-1;\ 1\).
Как это получается
Корень многочлена — это число, при подстановке которого получается \(0\).
Для квадратного трёхчлена \(ax^2+bx+c\):
\[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \]
Если \(D<0\), действительных корней нет.
598
\[ x^3-3x^2-4x+12=x^2(x-3)-4(x-3)= (x-3)(x^2-4) \] \[ =(x-3)(x-2)(x+2) \] Корни: \(3;\ 2;\ -2\). Из данного списка подходят \(-2;\ 2;\ 3\).
599
а) \(x^2-7x=x(x-7)=0\), значит \(x=0\) или \(x=7\).
б) \(2x-5=0\), поэтому \(x=\frac52=2{,}5\).
в) \[ y^3-4y=y(y^2-4)=y(y-2)(y+2) \] Корни: \(-2;\ 0;\ 2\).
г) \[ y^4-16=(y^2-4)(y^2+4)=(y-2)(y+2)(y^2+4) \] Так как \(y^2+4\neq 0\), остаются корни \(-2;\ 2\).
600
а) \(x^2+1>0\) — корней нет.
б) \(x^3-27=0 \Rightarrow x^3=27 \Rightarrow x=3\) — корень есть.
в) \(-2y^6-1<0\) при любом \(y\), поэтому корней нет.
г) \(y^4+3y^2+7\ge 7>0\), корней нет.
601
\[ x^2-6x+7=0 \] \[ D=(-6)^2-4\cdot1\cdot7=36-28=8 \] \[ x=\frac{6\pm\sqrt8}{2}=\frac{6\pm2\sqrt2}{2}=3\pm\sqrt2 \] Из указанных чисел есть только \(3-\sqrt2\).
602
а) \[ x^2+x-6=(x+3)(x-2) \] Корни: \(-3;\ 2\).
б) \[ 9x^2-9x+2=0,\quad D=81-72=9 \] \[ x=\frac{9\pm3}{18} \] Корни: \(\frac13;\ \frac23\).
в) \[ 0{,}2x^2+3x-20=0 \] Умножим на \(5\): \[ x^2+15x-100=0 \] \[ (x+20)(x-5)=0 \] Корни: \(-20;\ 5\).
г) \[ -2x^2-x-0{,}125=0 \] После умножения на \(-8\): \[ 16x^2+8x+1=0 \] \[ (4x+1)^2=0 \] Корень один: \(x=-\frac14\).
д) \[ 0{,}1x^2+0{,}4=0 \] \[ 0{,}1x^2=-0{,}4 \] \[ x^2=-4 \] Действительных корней нет.
е) \[ -0{,}3x^2+1{,}5x=0 \] \[ x(-0{,}3x+1{,}5)=0 \] Отсюда \(x=0\) или \(x=5\).
603
а) \[ 10x^2+5x-5=5(2x^2+x-1) \] \[ 2x^2+x-1=(2x-1)(x+1) \] Корни: \(\frac12;\ -1\).
б) \[ -2x^2+12x-18=-2(x^2-6x+9)=-2(x-3)^2 \] Корень: \(x=3\).
в) \[ x^2-2x-4=0 \] \[ D=4+16=20 \] \[ x=\frac{2\pm\sqrt{20}}2=1\pm\sqrt5 \]
г) \[ 12x^2-12=0 \] \[ 12(x^2-1)=0 \] \[ x^2=1 \] Корни: \(-1;\ 1\).
Проверка делается подстановкой, например для 602а:
\(x=-3:\ 9-3-6=0\), \(x=2:\ 4+2-6=0\). Всё верно.
Обсуждение
2 сообщения603 как в тетради
№ 603
а)
\[
10x^2+5x-5=0
\]
Разделим обе части на \(5\):
\[
2x^2+x-1=0
\]
\[
D=1^2-4\cdot2\cdot(-1)=1+8=9
\]
\[
x_{1,2}=\frac{-1\pm3}{4}
\]
\[
x_1=\frac{-1+3}{4}=\frac12,\qquad
x_2=\frac{-1-3}{4}=-1
\]
Ответ: \(-1;\ \frac12\).
б)
\[
-2x^2+12x-18=0
\]
Разделим на \(-2\):
\[
x^2-6x+9=0
\]
\[
(x-3)^2=0
\]
\[
x=3
\]
Ответ: \(3\).
в)
\[
x^2-2x-4=0
\]
\[
D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-4)=4+16=20
\]
\[
\sqrt D=\sqrt{20}=2\sqrt5
\]
\[
x_{1,2}=\frac{2\pm2\sqrt5}{2}=1\pm\sqrt5
\]
\[
x_1=1-\sqrt5,\qquad x_2=1+\sqrt5
\]
Ответ: \(1-\sqrt5;\ 1+\sqrt5\).
г)
\[
12x^2-12=0
\]
\[
12(x^2-1)=0
\]
\[
x^2-1=0
\]
\[
x^2=1
\]
\[
x=\pm1
\]
Ответ: \(-1;\ 1\).
