Реши и поясни как это решать 211

Кратко:

а) \(x=-2\)
б) \(x=\pm \frac15\) (или \(\pm 0{,}2\))
в) \(y=2\) или \(y=-\frac72=-3{,}5\)
г) если в книге опечатка и между \(x^4\) и \(x^2\) стоит минус, то \(x=\pm \frac12\). Если решать строго по фото, где стоит знак умножения, действительных корней нет.

---

а) \((8x-1)(2x-3)-(4x-1)^2=38\)

Раскрываем скобки:

\[ (8x-1)(2x-3)=16x^2-24x-2x+3=16x^2-26x+3 \]

\[ (4x-1)^2=16x^2-8x+1 \]

Вычитаем:

\[ 16x^2-26x+3-(16x^2-8x+1)=-18x+2 \]

Получаем линейное уравнение:

\[ -18x+2=38 \]

\[ -18x=36 \]

\[ x=-2 \]

Проверка: при \(x=-2\):

\[ (8\cdot(-2)-1)(2\cdot(-2)-3)-(4\cdot(-2)-1)^2= (-17)(-7)-(-9)^2=119-81=38. \]

Верно.

---

б) \(\dfrac{(15x-1)(1+15x)}{3}=2\dfrac23\)

Смешанное число переводим в дробь:

\[ 2\dfrac23=\frac83 \]

Замечаем формулу разности квадратов:

\[ (15x-1)(1+15x)=(15x)^2-1^2=225x^2-1 \]

Тогда:

\[ \frac{225x^2-1}{3}=\frac83 \]

Умножаем обе части на \(3\):

\[ 225x^2-1=8 \]

\[ 225x^2=9 \]

\[ x^2=\frac{9}{225}=\frac1{25} \]

\[ x=\pm \frac15 \]

---

в) \(0{,}5y^3-0{,}5y(y+1)(y-3)=7\)

Сначала раскрываем \((y+1)(y-3)\):

\[ (y+1)(y-3)=y^2-3y+y-3=y^2-2y-3 \]

Умножаем на \(0{,}5y\):

\[ 0{,}5y(y^2-2y-3)=0{,}5y^3-y^2-1{,}5y \]

Подставляем в уравнение:

\[ 0{,}5y^3-(0{,}5y^3-y^2-1{,}5y)=7 \]

\[ y^2+1{,}5y=7 \]

Умножим на \(2\), чтобы не было десятичных дробей:

\[ 2y^2+3y-14=0 \]

Дискриминант:

\[ D=3^2-4\cdot2\cdot(-14)=9+112=121=11^2 \]

\[ y=\frac{-3\pm11}{4} \]

\[ y_1=\frac84=2,\qquad y_2=\frac{-14}{4}=-3{,}5 \]

Ответ: \(y=2\) и \(y=-3{,}5\).

---

г) \(x^4\cdot x^2=\dfrac{(1+2x^2)(2x^2-1)}{4}\)

Сначала упростим правую часть. Заметим, что \(1+2x^2=2x^2+1\), поэтому:

\[ (1+2x^2)(2x^2-1)=(2x^2+1)(2x^2-1)=4x^4-1 \]

Значит, правая часть равна:

\[ \frac{4x^4-1}{4}=x^4-\frac14 \]

Если между \(x^4\) и \(x^2\) стоит минус

Тогда:

\[ x^4-x^2=x^4-\frac14 \]

Сокращаем \(x^4\):

\[ -x^2=-\frac14 \]

\[ x^2=\frac14 \]

\[ x=\pm \frac12 \]

Это красивое решение, скорее всего, именно оно и задумано в учебнике.

Если строго по фото стоит умножение

Тогда:

\[ x^4\cdot x^2=x^6 \]

Получаем:

\[ x^6=x^4-\frac14 \]

\[ 4x^6-4x^4+1=0 \]

Пусть \(t=x^2\ge 0\). Тогда:

\[ 4t^3-4t^2+1=0 \]

Можно показать, что при \(t\ge 0\) левая часть всегда положительна:

\[ 4t^3-4t^2+1=t(2t-1)^2+(1-t) \]

• Если \(0\le t\le 1\), то \(t(2t-1)^2\ge0\) и \(1-t\ge0\), причём нуля одновременно не будет.
• Если \(t\ge1\), то

\[ 4t^3-4t^2+1=4t^2(t-1)+1>0 \]

Значит, при умножении действительных корней нет.

---

Что важно понять

При решении таких уравнений:

1. Раскрывай скобки и применяй формулы: \[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \] \[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \]

2. Приводи подобные слагаемые — обычно уравнение сильно упрощается.

3. Если есть дробь, умножай обе части на знаменатель.

4. Если после упрощения остаются только чётные степени \(x\), делай замену \(t=x^2\), причём \(t\ge0\).

5. В конце проверяй найденные корни подстановкой.