Вариант 1 в тетрадь как оформляем в тетради

Кратко

СР‑9, Вариант 1:

1. Масса каждого тела: \(m = 2\) кг.
2. Ускорение свободного падения на высоте \(600\) км: \(g \approx 8{,}2\) м/с².

Как оформить в тетради

Задача 1

Дано: \[ m_1 = m_2 = m,\qquad r = 2\ \text{м},\qquad F = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н} \] \[ G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2} \] Найти: \(m\) — ?

Решение: \[ F = G\frac{m_1m_2}{r^2} = G\frac{m^2}{r^2} \] \[ m^2 = \frac{Fr^2}{G} \] \[ m = \sqrt{\frac{Fr^2}{G}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 2^2}{6{,}67\cdot10^{-11}}} = \sqrt{4} = 2\ \text{кг} \]

Ответ: \(m = 2\) кг.

Задача 2

Дано: \[ h = 600\ \text{км} = 6\cdot10^5\ \text{м} \] \[ R_{\text{З}} = 6{,}4\cdot10^6\ \text{м},\qquad M_{\text{З}} = 6\cdot10^{24}\ \text{кг} \] \[ G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2} \] Найти: \(g\) — ?

Решение: \[ g = G\frac{M_{\text{З}}}{(R_{\text{З}} + h)^2} \] \[ R_{\text{З}} + h = 6{,}4\cdot10^6 + 0{,}6\cdot10^6 = 7{,}0\cdot10^6\ \text{м} \] \[ g = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{6\cdot10^{24}}{(7{,}0\cdot10^6)^2} = \frac{4{,}002\cdot10^{14}}{4{,}9\cdot10^{13}} \approx 8{,}2\ \text{м/с}^2 \]

Ответ: \(g \approx 8{,}2\) м/с².

Проверка через \(g_0\): \[ g = g_0\left(\frac{R_{\text{З}}}{R_{\text{З}}+h}\right)^2 = 9{,}8\cdot\left(\frac{6{,}4}{7{,}0}\right)^2 \approx 8{,}2\ \text{м/с}^2 \] Сходится.

Принцип, чтобы решить похожее

1. Закон всемирного тяготения: \[ F = G\frac{m_1m_2}{r^2} \] где \(r\) — расстояние между центрами тел.

2. Если массы одинаковы, формула упрощается: \[ F = G\frac{m^2}{r^2} \] Отсюда массу ищем через корень: \[ m = \sqrt{\frac{Fr^2}{G}} \]

3. Ускорение свободного падения на высоте \(h\): \[ g = G\frac{M}{(R+h)^2} \] Важно: в знаменателе именно \(R+h\), потому что расстояние считается от центра Земли, а не от поверхности.

4. Проверка единиц:

   • \(\dfrac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}\cdot\dfrac{\text{кг}^2}{\text{м}^2} = \text{Н}\) ✔
   • \(\dfrac{\text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2\cdot\text{кг}}{\text{м}^2} = \text{м/с}^2\) ✔

5. Смысл ответа: на высоте \(600\) км сила тяжести слабее, поэтому \(g \approx 8{,}2\) м/с² меньше, чем у поверхности Земли \(9{,}8\) м/с².

На фото есть ещё СР‑8 «Свободное падение», Вариант 1 (камень с высоты \(245\) м и мяч со скоростью \(40\) м/с). Если нужно решить и его — скажи, оформлю так же.

Кратко

СР‑8 «Свободное падение», Вариант 1 (при \(g = 10\) м/с²):

1. Время падения \(t = 7\) с, скорость у земли \(v = 70\) м/с.
2. Через \(2\) с мяч окажется на высоте \(h = 60\) м.

Как оформить в тетради

Задача 1

Дано: \[ h = 245\ \text{м},\qquad g = 10\ \text{м/с}^2 \] Найти: \(t\) — ? \(v\) — ?

Решение:

Тело падает без начальной скорости, поэтому \[ h = \frac{gt^2}{2} \] Отсюда время падения: \[ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \] \[ t = \sqrt{\frac{2 \cdot 245}{10}} = \sqrt{49} = 7\ \text{с} \]

Скорость в момент удара о землю: \[ v = gt \] \[ v = 10 \cdot 7 = 70\ \text{м/с} \]

Ответ: \(t = 7\) с; \(v = 70\) м/с.

Задача 2

Дано: \[ v_0 = 40\ \text{м/с},\qquad t = 2\ \text{с},\qquad g = 10\ \text{м/с}^2 \] Найти: \(h\) — ?

Решение:

Высота при движении вертикально вверх: \[ h = v_0 t - \frac{gt^2}{2} \] \[ h = 40 \cdot 2 - \frac{10 \cdot 2^2}{2} \] \[ h = 80 - 20 = 60\ \text{м} \]

Ответ: \(h = 60\) м.

Если учитель требует \(g = 9{,}8\) м/с²

Тогда:

1. \[ t = \sqrt{\frac{2 \cdot 245}{9{,}8}} = \sqrt{50} \approx 7{,}1\ \text{с},\qquad v = 9{,}8 \cdot 7{,}1 \approx 69{,}6\ \text{м/с} \]
2. \[ h = 40 \cdot 2 - \frac{9{,}8 \cdot 4}{2} = 80 - 19{,}6 = 60{,}4\ \text{м} \]

Обычно в таких задачах берут \(g = 10\) м/с² — числа \(245\), \(40\) и \(2\) подобраны именно под удобный счёт.

Принцип, чтобы решить похожее

1. При свободном падении без начальной скорости работают формулы: \[ h = \frac{gt^2}{2},\qquad v = gt,\qquad v = \sqrt{2gh} \]
2. При броске вертикально вверх начальная скорость направлена вверх, а ускорение свободного падения — вниз, поэтому: \[ h = v_0 t - \frac{gt^2}{2},\qquad v = v_0 - gt \]
3. В верхней точке скорость равна нулю, время подъёма: \[ t_{\text{под}} = \frac{v_0}{g} \]
4. Проверка единиц:
   • \(\sqrt{\dfrac{\text{м}}{\text{м/с}^2}} = \sqrt{\text{с}^2} = \text{с}\) ✔
   • \(\dfrac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \text{с} = \text{м}\) ✔

Если нужно, могу так же оформить Вариант 2 с этого же фото.

По фото это СР‑9, Вариант 1. В прошлом ответе для этой работы у меня были другие числа — вот правильное решение именно с листа.

Задача 1

Дано: \[ m_1=m_2=m,\qquad r=1\ \text{м},\qquad F=1\ \text{Н} \] \[ G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2} \]

Найти: \(m\) — ?

Решение: \[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2}=G\frac{m^2}{r^2} \] \[ m^2=\frac{Fr^2}{G} \] \[ m=\sqrt{\frac{Fr^2}{G}} =\sqrt{\frac{1\cdot1^2}{6{,}67\cdot10^{-11}}} \approx\sqrt{1{,}5\cdot10^{10}} \approx1{,}2\cdot10^5\ \text{кг} \]

Ответ: \(m\approx1{,}2\cdot10^5\) кг, то есть примерно 120 т каждое тело.

Задача 2

Дано: \[ M_{\text{Л}}=7{,}3\cdot10^{22}\ \text{кг} \] \[ R_{\text{Л}}=1760\ \text{км}=1{,}76\cdot10^6\ \text{м} \] \[ G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2} \]

Найти: \(g_{\text{Л}}\) — ?

Решение: \[ g_{\text{Л}}=G\frac{M_{\text{Л}}}{R_{\text{Л}}^2} \] \[ g_{\text{Л}} =6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{7{,}3\cdot10^{22}}{(1{,}76\cdot10^6)^2} \] \[ g_{\text{Л}}\approx1{,}57\ \text{м/с}^2\approx1{,}6\ \text{м/с}^2 \]

Ответ: \(g_{\text{Л}}\approx1{,}6\) м/с².

Что важно запомнить

1. В законе всемирного тяготения \(r\) — расстояние между центрами тел.
2. Если массы одинаковые: \[ F=G\frac{m^2}{r^2} \]
3. На поверхности планеты или Луны: \[ g=G\frac{M}{R^2} \] где \(R\) — радиус планеты.

Задача про стрелу в самом верху страницы относится к предыдущей теме; в Вариант 1 СР‑9 она не входит.