Реши задание на изображении
Краткие ответы:
- \(-1\)
- \(\dfrac14\)
- \(\dfrac12\)
- \(+\infty\)
- \(3\)
Как рассуждать.
При \(x\to\infty\) у рациональной дроби главную роль играют старшие степени. Если старшие степени одинаковые, предел равен отношению их коэффициентов. Если в пределе получается \(\frac00\), нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить.
1. \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^2+5x+2}{4-x^2-4x}\)
Старшая степень сверху и снизу — \(x^2\). Коэффициенты: сверху \(1\), снизу \(-1\).
\[ \lim_{x\to\infty}\frac{x^2+5x+2}{-x^2-4x+4} =\frac{1}{-1}=-1 \]
Можно и поделить на \(x^2\):
\[ \frac{1+\frac5x+\frac{2}{x^2}}{\frac4{x^2}-1-\frac4x}\to \frac{1}{-1}=-1. \]
Ответ: \(-1\).
2. \(\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{t^2-3t+3}{6t+4t^2}\)
Старшие члены: сверху \(t^2\), снизу \(4t^2\).
\[ \lim_{t\to\infty}\frac{t^2-3t+3}{4t^2+6t} =\frac{1}{4} \]
Ответ: \(\dfrac14\).
3. \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3+2x-x^2}{2-2x^2}\)
Старшие члены: сверху \(-x^2\), снизу \(-2x^2\).
\[ \lim_{x\to\infty}\frac{-x^2+2x+3}{-2x^2+2} =\frac{-1}{-2}=\frac12 \]
Ответ: \(\dfrac12\).
4. \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^2-6x}{2x-3}\)
Сверху степень \(2\), снизу степень \(1\). Числитель растёт быстрее, поэтому предел бесконечный:
\[ \frac{x^2-6x}{2x-3} = \frac{x-6}{2-\frac3x}\to +\infty \]
Ответ: \(+\infty\).
Конечного предела нет.
5. \(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{2x^2-x-1}{x^2-x}\)
Подставляем \(x=1\):
\[ \frac{2-1-1}{1-1}=\frac00. \]
Раскладываем на множители:
\[ 2x^2-x-1=(2x+1)(x-1), \qquad x^2-x=x(x-1). \]
Сокращаем \(x-1\):
\[ \frac{(2x+1)(x-1)}{x(x-1)} = \frac{2x+1}{x}. \]
Теперь подставляем \(x=1\):
\[ \frac{2\cdot1+1}{1}=3. \]
Ответ: \(3\).
