Реши задание на изображении

Кратко:

1. \(MN=32\);
2. \(P_{ABC}=60\);
3. \(BMKN\) — ромб;
4. средняя линия равна \(4\) см.

Главное правило: средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

1. Дано: \(M\) и \(N\) — середины \(AB\) и \(BC\), \(AC=64\)

Отрезок \(MN\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(BC\), значит, это средняя линия, параллельная \(AC\). Поэтому \[ MN=\frac{AC}{2}=\frac{64}{2}=32. \]

Длины \(AB=20\) и \(BC=58\) для нахождения \(MN\) не нужны.

Ответ: \(32\).

2. Дано: \(MN=12,\ MK=10,\ KN=8\)

Определим, каким сторонам соответствуют средние линии:

• \(MN\) соединяет середины \(AB\) и \(BC\), значит, \(MN\parallel AC\) и \(AC=2MN=24\);
• \(MK\) соединяет середины \(AB\) и \(AC\), значит, \(MK\parallel BC\) и \(BC=2MK=20\);
• \(KN\) соединяет середины \(AC\) и \(BC\), значит, \(KN\parallel AB\) и \(AB=2KN=16\).

Тогда \[ P_{ABC}=AB+BC+AC=16+20+24=60. \]

Можно и короче: периметр треугольника в 2 раза больше периметра треугольника из средних линий: \[ P_{ABC}=2(12+10+8)=60. \]

Ответ: \(60\).

3. Доказательство для равностороннего треугольника

Пусть сторона равностороннего треугольника \(ABC\) равна \(a\).

Тогда \[ BM=\frac{AB}{2}=\frac a2,\qquad BN=\frac{BC}{2}=\frac a2. \]

Отрезок \(MK\) — средняя линия, поэтому \[ MK\parallel BC,\qquad MK=\frac{BC}{2}=\frac a2. \]

Отрезок \(KN\) — тоже средняя линия, поэтому \[ KN\parallel AB,\qquad KN=\frac{AB}{2}=\frac a2. \]

Значит, \[ BM=MK=KN=NB=\frac a2, \] то есть все четыре стороны четырёхугольника \(BMKN\) равны. Кроме того, противоположные стороны параллельны: \(BM\parallel KN\), \(MK\parallel NB\). Следовательно, \(BMKN\) — параллелограмм с равными сторонами, то есть ромб.

Что доказано: \(BMKN\) — ромб.

4. Периметр равностороннего треугольника равен \(24\) см

Пусть сторона треугольника равна \(a\): \[ 3a=24 \quad\Rightarrow\quad a=8\text{ см}. \]

Средняя линия равна половине стороны: \[ l=\frac a2=\frac82=4\text{ см}. \]

Ответ: \(4\) см.