Реши задание на изображении

Краткие ответы:
а) \(x=-3\); б) \(x=3\); в) \(x=5{,}5\); г) \(x=1\); д) \(x=-2\).

Главный принцип. Если степени с одинаковым основанием равны: \[ a^m=a^n \quad \Rightarrow \quad m=n, \] где \(a>0,\ a\ne1\). Поэтому обе части уравнения нужно привести к одному основанию.

Также используем: \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n},\qquad a^{-n}=\frac1{a^n}. \]

а) \(8^{5+x}=64\)

\[ 64=8^2, \] поэтому \[ 5+x=2 \quad \Rightarrow \quad x=-3. \]

б) \(4^{3x-11}=\frac1{16}\)

\[ \frac1{16}=4^{-2}, \] значит \[ 3x-11=-2, \] \[ 3x=9,\qquad x=3. \]

в) \(\left(\frac1{49}\right)^{x-6}=7\)

\[ \frac1{49}=7^{-2}. \] Тогда \[ \left(7^{-2}\right)^{x-6}=7^1. \] При возведении степени в степень показатели перемножаются: \[ 7^{-2(x-6)}=7^1. \] Значит, \[ -2(x-6)=1, \] \[ -2x+12=1, \] \[ -2x=-11,\qquad x=\frac{11}{2}=5{,}5. \]

г) \(3^{2x-5}\cdot3^{2x-3}=\frac1{81}\)

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \[ 3^{(2x-5)+(2x-3)}=3^{-4}. \] \[ 4x-8=-4, \] \[ 4x=4,\qquad x=1. \]

Проверка: при \(x=1\) показатели равны \(-3\) и \(-1\), их сумма \(-4\), а \(3^{-4}=\frac1{81}\). Верно.

д) \(12^{3x+5}:12^{-5x-13}=144\)

При делении показатели вычитаются: \[ 12^{(3x+5)-(-5x-13)}=12^2. \] \[ (3x+5)+(5x+13)=2, \] \[ 8x+18=2, \] \[ 8x=-16,\qquad x=-2. \]

Проверка: при \(x=-2\) показатель левой части равен \(8(-2)+18=2\), поэтому получаем \(12^2=144\). Верно.