Реши задание на изображении

Краткие ответы

6. \(\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{x^2+3x+2}{x^2+x}=-1\)
7. \(\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2+x-6}{2x^2-8}=\frac58\)
8. \(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{x^2-x+1}{x-x^3}=0\)
9. \(\displaystyle \lim_{x\to 5}\frac{x-5}{\sqrt{2x-1}-3}=3\)
10. \(\displaystyle \lim_{x\to \infty}e^{-x}=0\)

Как решать

Главная идея: сначала подставляем значение \(x\). Если получается \(\frac00\), выражение надо преобразовать и сократить.

6. \[ x^2+3x+2=(x+1)(x+2),\qquad x^2+x=x(x+1). \] После сокращения на \(x+1\): \[ \lim_{x\to -1}\frac{x+2}{x} =\frac{-1+2}{-1}=-1. \]

7. \[ x^2+x-6=(x-2)(x+3), \] \[ 2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2). \] После сокращения на \(x-2\): \[ \lim_{x\to 2}\frac{x+3}{2(x+2)} =\frac{5}{2\cdot 4}=\frac58. \]

8. При \(x\to\infty\) смотрим на старшие степени: в числителе \(x^2\), в знаменателе \(-x^3\). Знаменатель растёт быстрее, поэтому предел равен \(0\).

Можно показать делением на \(x^3\): \[ \frac{x^2-x+1}{x-x^3} = \frac{\frac1x-\frac1{x^2}+\frac1{x^3}}{\frac1{x^2}-1} \to \frac0{-1}=0. \]

9. При \(x=5\) получается \(\frac00\). Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое: \[ \frac{x-5}{\sqrt{2x-1}-3} \cdot \frac{\sqrt{2x-1}+3}{\sqrt{2x-1}+3} = \frac{(x-5)(\sqrt{2x-1}+3)}{2x-1-9}. \] Так как \(2x-1-9=2(x-5)\), сокращаем на \(x-5\): \[ \lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{2x-1}+3}{2} = \frac{3+3}{2}=3. \]

10. \[ e^{-x}=\frac1{e^x}\to 0 \quad \text{при } x\to+\infty. \] Поэтому предел равен \(0\).