Реши задание на изображении
На картинке три задачи — разберу все.
Краткие ответы:
- 438. \(6\ \text{см}^2\)
- 439. \(\dfrac12\sqrt{8R^2-a^2}\), при \(2R\le a\le 2\sqrt2R\)
- 440. \(3R^2\)
438
Пусть радиус цилиндра \(r\), высота \(h\).
Осевое сечение — прямоугольник со сторонами \(2r\) и \(h\):
\[ 2rh=4\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad rh=2\sqrt3. \]
Плоскость, параллельная оси и проходящая на расстоянии \(r/2\) от неё, вырезает в основании хорду:
\[ 2\sqrt{r^2-\left(\frac r2\right)^2} =2\cdot \frac{r\sqrt3}{2} =r\sqrt3. \]
Значит, площадь сечения:
\[ S=h\cdot r\sqrt3=(rh)\sqrt3=2\sqrt3\cdot\sqrt3=6. \]
Ответ: \(\boxed{6\ \text{см}^2}\).
439
Пусть \(\varphi\) — угол между радиусами, проведёнными в проекции точек \(A\) и \(B\) на основание. Высота цилиндра равна \(2R\), поэтому
\[ a^2=(2R)^2+\left(2R\sin\frac{\varphi}{2}\right)^2. \]
Расстояние от прямой \(AB\) до оси равно расстоянию от центра основания до хорды, соединяющей проекции \(A\) и \(B\):
\[ d=R\cos\frac{\varphi}{2}. \]
Из первого равенства:
\[ \sin^2\frac{\varphi}{2}=\frac{a^2}{4R^2}-1. \]
Тогда
\[ d^2=R^2\left(1-\sin^2\frac{\varphi}{2}\right) =R^2\left(2-\frac{a^2}{4R^2}\right) =2R^2-\frac{a^2}{4}. \]
\[ \boxed{d=\frac12\sqrt{8R^2-a^2}}. \]
440
Высота цилиндра:
\[ H=\sqrt6R. \]
Плоскость прямоугольника пересекает основания по двум параллельным равным хордам. Пусть расстояние от центра основания до каждой хорды равно \(d\).
Тогда сторона прямоугольника, лежащая в основании:
\[ AB=2\sqrt{R^2-d^2}. \]
Соседняя сторона \(BC\) имеет вертикальную проекцию \(H\) и горизонтальную \(2d\), поэтому
\[ BC=\sqrt{H^2+(2d)^2} =\sqrt{6R^2+4d^2}. \]
По условию
\[ AB:BC=1:3 \quad\Rightarrow\quad BC=3AB. \]
Подставляем:
\[ 6R^2+4d^2=9\cdot 4(R^2-d^2). \]
\[ 6R^2+4d^2=36R^2-36d^2, \]
\[ 40d^2=30R^2, \]
\[ d^2=\frac34R^2. \]
Тогда
\[ AB=2\sqrt{R^2-\frac34R^2}=R, \]
\[ BC=3R. \]
Площадь:
\[ S=AB\cdot BC=R\cdot 3R=3R^2. \]
Ответ: \(\boxed{3R^2}\).
