Геометрия решить номер 1073

Это условие №1073. Искомое множество — прямая, перпендикулярная \(AB\), проходящая через точку \(P\) на прямой \(AB\), для которой
\[ AP=\frac{AB}{2}, \] причём \(P\) лежит на луче, противоположном лучу \(AB\) (то есть \(A\) находится между \(B\) и \(P\)).

Решение. Пусть \(AB=d\). Введём координаты: \[ A(0;0),\quad B(d;0),\quad M(x;y). \] Тогда \[ AM^2=x^2+y^2,\qquad BM^2=(x-d)^2+y^2. \] По условию: \[ BM^2-AM^2=2AB^2=2d^2. \] Подставляем: \[ (x-d)^2+y^2-(x^2+y^2)=2d^2, \] \[ x^2-2dx+d^2-x^2=2d^2, \] \[ -2dx=d^2, \] \[ x=-\frac d2. \] Значит, координата \(x\) у всех таких точек \(M\) одна и та же, а \(y\) может быть любым. Это и есть прямая \(x=-\frac d2\), перпендикулярная \(AB\).

Ответ: прямая, перпендикулярная \(AB\), проходящая через точку \(P\), расположенную на прямой \(AB\) по другую сторону от \(A\), чем \(B\), причём \(AP=\dfrac{AB}{2}\).