Решить кратко и чётко
Краткие ответы
а) \(x=-9;\ 0;\ 9\)
б) \(x=-3{,}4\)а) \(x=-3;\ 3;\ 4\)
б) \(x=\pm 1\)а) \(x=\pm 1;\ \pm 3\)
б) \(x=\pm\sqrt{3}\)\(x=\dfrac{7\pm\sqrt{33}}{2}\), причём \(x\ne \pm1\), поэтому оба корня подходят.
Как решать
1. а) \(x^3-81x=0\)
Вынесем общий множитель:
\[ x(x^2-81)=0 \]
\[ x(x-9)(x+9)=0 \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x=0,\quad x=9,\quad x=-9 \]
1. б) \(3(x-1{,}5)+2x=5(2{,}5+2x)\)
Раскроем скобки:
\[ 3x-4{,}5+2x=12{,}5+10x \]
\[ 5x-4{,}5=12{,}5+10x \]
Перенесём:
\[ -5x=17 \]
\[ x=-\frac{17}{5}=-3{,}4 \]
2. а) \(x^3-4x^2-9x+36=0\)
Сгруппируем:
\[ (x^3-4x^2)-(9x-36)=0 \]
\[ x^2(x-4)-9(x-4)=0 \]
\[ (x-4)(x^2-9)=0 \]
\[ (x-4)(x-3)(x+3)=0 \]
Отсюда:
\[ x=4,\quad x=3,\quad x=-3 \]
2. б) \(x^6+4x^4-x^2-4=0\)
Сгруппируем:
\[ x^4(x^2+4)-(x^2+4)=0 \]
\[ (x^2+4)(x^4-1)=0 \]
Так как \(x^2+4>0\) при любом действительном \(x\), остаётся:
\[ x^4-1=0 \]
\[ x^4=1 \]
\[ x=\pm1 \]
3. а) \(x^4-10x^2+9=0\)
Это биквадратное уравнение. Введём замену:
\[ t=x^2,\quad t\ge 0 \]
Тогда:
\[ t^2-10t+9=0 \]
По теореме Виета:
\[ t=1,\quad t=9 \]
Возвращаемся:
\[ x^2=1 \Rightarrow x=\pm1 \]
\[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm3 \]
3. б) \(x^4+6x^2-27=0\)
Замена \(t=x^2\), \(t\ge0\):
\[ t^2+6t-27=0 \]
Корни:
\[ t=3,\quad t=-9 \]
Отрицательный корень не подходит, так как \(t=x^2\ge0\). Значит:
\[ x^2=3 \]
\[ x=\pm\sqrt{3} \]
4. \(\dfrac{5}{x-1}+\dfrac{30}{x+1}=5\)
ОДЗ:
\[ x\ne1,\quad x\ne-1 \]
Разделим уравнение на 5:
\[ \frac{1}{x-1}+\frac{6}{x+1}=1 \]
Умножим на \((x-1)(x+1)\):
\[ (x+1)+6(x-1)=x^2-1 \]
\[ 7x-5=x^2-1 \]
\[ x^2-7x+4=0 \]
Дискриминант:
\[ D=49-16=33 \]
\[ x=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2} \]
Оба корня не равны \(\pm1\), значит, оба подходят.
