Реши задание на изображении

В №2 предыдущий ответ был с ошибкой: правильное значение \(\vec q=(0;5;5)\). Ниже — решения всех заданий.

Задача 1

В кубе: \[ \overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{CC_1}. \] Тогда \[ \overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC_1}. \] По правилу сложения векторов: \[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}, \] \[ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{AC_1}. \]

Ответ: \(\boxed{\overrightarrow{AC_1}}\).

Задача 2

Дано: \[ \vec a=(-1;1;3),\quad \vec b=(0;2;-2),\quad \vec c=(-3;2;0). \] \[ \vec q=3\vec a+2\vec b-\vec c. \] Вычисляем: \[ 3\vec a=(-3;3;9), \] \[ 2\vec b=(0;4;-4), \] \[ -\vec c=(3;-2;0). \] Складываем координаты: \[ \vec q=(-3+0+3;\ 3+4-2;\ 9-4+0)=(0;5;5). \]

Ответ: \(\boxed{\vec q=(0;5;5)}\).

Задача 3

Уравнение сферы с центром \((x_0;y_0;z_0)\) и радиусом \(R\): \[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2. \] Здесь \[ A(2;0;0),\qquad R=\sqrt2,\qquad R^2=2. \] Значит: \[ (x-2)^2+(y-0)^2+(z-0)^2=2. \]

Ответ: \(\boxed{(x-2)^2+y^2+z^2=2}\).

Задача 4

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: \[ d^2=a^2+b^2+c^2. \] Подставляем: \[ d^2=(\sqrt{35})^2+2^2+(\sqrt{61})^2 =35+4+61=100. \] Значит, \[ d=10. \]

Ответ: \(\boxed{10}\).

Задача 5

Дано: \(CD\perp (ABC)\), треугольник \(ABC\) равносторонний со стороной \(6\), \(BD=3\sqrt7\).

Пусть требуется найти двугранный угол \(DABC\) при ребре \(AB\).

Так как \(CD\perp (ABC)\), то \(CD\perp BC\). В прямоугольном треугольнике \(BCD\): \[ BD^2=BC^2+CD^2. \] \[ (3\sqrt7)^2=6^2+CD^2, \] \[ 63=36+CD^2, \] \[ CD^2=27,\qquad CD=3\sqrt3. \]

Пусть \(M\) — середина \(AB\). В равностороннем треугольнике \(ABC\): \[ CM\perp AB, \] \[ CM=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3. \]

Кроме того, \(CD\perp AC\), поэтому: \[ AD^2=AC^2+CD^2=36+27=63, \] то есть \[ AD=3\sqrt7=BD. \] Значит, треугольник \(ABD\) равнобедренный, и его медиана \(DM\) является высотой: \[ DM\perp AB. \] Следовательно, линейный угол двугранного угла \(DABC\) — это \(\angle DMC\).

Треугольник \(DMC\) прямоугольный при \(C\), причём \[ CD=CM=3\sqrt3. \] Он равнобедренный прямоугольный, поэтому \[ \angle DMC=45^\circ. \]

Ответ: \(\boxed{45^\circ}\) — для двугранного угла \(DABC\) при ребре \(AB\).

Если в записи на фото стоит именно \(\angle BDCA\) (угол при ребре \(DC\)), то его величина равна \(60^\circ\), так как сечение плоскостью \(ABC\) даёт \(\angle BCA=60^\circ\).

Ответы кратко

1. \(\boxed{\overrightarrow{AC_1}}\)
2. \(\boxed{\vec q=(0;5;5)}\)
3. \(\boxed{(x-2)^2+y^2+z^2=2}\)
4. \(\boxed{10}\)
5. \(\boxed{45^\circ}\) — для \(\angle DABC\); если нужен \(\angle BDCA\), то \(\boxed{60^\circ}\).