Фото с простым решением

Краткий ответ: \[ A^{-1}= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ \frac32 & -\frac12 \end{pmatrix}, \qquad B^{-1}= \begin{pmatrix} -\frac35 & \frac25\\ \frac15 & \frac15 \end{pmatrix}. \]

Как это получается

Для матрицы \(2\times2\) \[ M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \] сначала считаем определитель: \[ \det M=ad-bc. \] Если \(\det M\neq0\), то \[ M^{-1}=\frac1{ad-bc} \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. \] То есть на диагонали числа меняются местами, а у внедиагональных элементов меняется знак.

Для \(A\): \[ \det A=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2, \] \[ A^{-1}=\frac1{-2} \begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2&1\\ \frac32&-\frac12 \end{pmatrix}. \]

Для \(B\): \[ \det B=(-1)\cdot3-2\cdot1=-3-2=-5, \] \[ B^{-1}=\frac1{-5} \begin{pmatrix}3&-2\\-1&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac35&\frac25\\ \frac15&\frac15 \end{pmatrix}. \]

Проверка: должно получиться \(AA^{-1}=E\) и \(BB^{-1}=E\). Например, \[ \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2&1\\\frac32&-\frac12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}. \] Значит, \(A^{-1}\) найдена верно.