2x^3+x^2-3x=0
Краткий ответ:
\[
x=-\frac32,\quad x=0,\quad x=1
\]
Как решать:
Вынесем общий множитель \(x\): \[ 2x^3+x^2-3x=0 \] \[ x(2x^2+x-3)=0 \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x=0 \] или \[ 2x^2+x-3=0 \]
Решим квадратное уравнение: \[ D=1^2-4\cdot2\cdot(-3)=1+24=25 \] \[ x_{1,2}=\frac{-1\pm5}{4} \] \[ x_1=1,\qquad x_2=-\frac32 \]
Либо разложим на множители: \[ 2x^2+x-3=(2x+3)(x-1) \] Тогда: \[ x(2x+3)(x-1)=0 \]
Проверка:
При \(x=0\): \(0=0\).
При \(x=1\): \(2+1-3=0\).
При \(x=-\frac32\): сумма также даёт \(0\).
Ответ:
\[
\boxed{x=-\frac32;\quad x=0;\quad x=1}
\]
Обсуждение
8 сообщенийx^4+4x^2-5=0
Ответ: \[ x=\pm 1 \]
Решение:
Уравнение: \[ x^4+4x^2-5=0 \]
Сделаем замену: \[ t=x^2,\qquad t\ge 0 \]
Тогда: \[ t^2+4t-5=0 \]
Решим квадратное уравнение: \[ D=4^2-4\cdot1\cdot(-5)=16+20=36 \] \[ t_{1,2}=\frac{-4\pm6}{2} \] \[ t_1=1,\qquad t_2=-5 \]
Так как \(t=x^2\ge0\), корень \(t=-5\) не подходит.
Остаётся: \[ x^2=1 \] \[ x=\pm1 \]
Проверка:
При \(x=1\):
\[
1+4-5=0
\]
При \(x=-1\):
\[
1+4-5=0
\]
Ответ: \[ \boxed{x=-1;\quad x=1} \]
6-3x/x-3=2x-2/1-x
Ответ:
\[
\boxed{x=0}
\]
Считаю, что уравнение записано так: \[ \frac{6-3x}{x-3}=\frac{2x-2}{1-x} \]
Область допустимых значений: \[ x\ne 3,\qquad x\ne 1 \]
Упростим правую часть: \[ \frac{2x-2}{1-x}=\frac{2(x-1)}{1-x}=-2 \]
Тогда: \[ \frac{6-3x}{x-3}=-2 \]
Умножим на \(x-3\): \[ 6-3x=-2(x-3) \] \[ 6-3x=-2x+6 \] \[ -3x=-2x \] \[ x=0 \]
Проверка: \(x=0\) не совпадает с запрещёнными значениями \(3\) и \(1\).
\[ \frac{6}{-3}=-2,\qquad \frac{-2}{1}=-2 \]
Верно.
Ответ: \(\boxed{0}\)
Систем с двумя уравнениями и знаком ≠ быть не должно?
Смотря что считать «системой».
\(x\ne a\) — это не уравнение, а ограничение (ОДЗ/условие). Поэтому «системы из двух уравнений со знаком \(\ne\)» в строгом смысле нет.
Но запись вроде
\[ \begin{cases} 6-3x=-2(x-3),\\ x\ne 3,\\ x\ne 1 \end{cases} \]
допустима: это не «система уравнений», а уравнение вместе с условиями. В школьном оформлении чаще пишут ОДЗ отдельно:
\[ x\ne3,\qquad x\ne1 \]
потом решают уравнение. Для нашего примера это ничего не меняет:
\[ \boxed{x=0} \]
То есть если учитель требует строгого оформления — ограничения лучше писать отдельно, а не как второе уравнение в системе.
(2x^2+1)^2+5(2x^2+1)-14=0 Реши уравнение, введи новую переменную
Введём новую переменную: \[ t=2x^2+1 \] Так как \(x^2\ge 0\), то \[ t=2x^2+1\ge 1 \]
Уравнение принимает вид: \[ t^2+5t-14=0 \]
Решаем: \[ D=25+56=81 \] \[ t_{1,2}=\frac{-5\pm 9}{2} \] \[ t_1=2,\qquad t_2=-7 \]
Корень \(t=-7\) не подходит, потому что \(t\ge1\). Значит: \[ 2x^2+1=2 \] \[ 2x^2=1 \] \[ x^2=\frac12 \] \[ x=\pm\frac{1}{\sqrt2}=\pm\frac{\sqrt2}{2} \]
Ответ: \[ \boxed{x=\frac{\sqrt2}{2};\quad x=-\frac{\sqrt2}{2}} \]
Если рассматривать комплексные числа, то добавятся \(x=\pm2i\), но в школьном курсе обычно берут только действительные корни.
