Реши задание на изображении

Это продолжение той же темы — логарифмы. Решения с листа:

1. \(\log_{\sqrt2}\frac18=x\)
   \[ x=\frac{-3}{1/2}=-6 \]

2. \(\log_{3\sqrt3}\frac1{27}=x\)
   \[ x=\frac{-3}{3/2}=-2 \]

3. \(\log_x4=-\frac12\)
   \[ x^{-1/2}=4 \Rightarrow \sqrt{x}=\frac14 \Rightarrow x=\frac1{16} \]

4. \(\log_x0{,}125=-3\)
   \[ x^{-3}=\frac18 \Rightarrow x^3=8 \Rightarrow x=2 \]

5. \(\log_{16}x=\frac34\)
   \[ x=16^{3/4}=8 \]

6. \(\log_5x=-3\)
   \[ x=5^{-3}=\frac1{125} \]

Внизу: \(\log_{1/\sqrt2}\frac18=x\)
\[ x=\frac{-3}{-1/2}=6 \]

Ответы: 1) \(-6\); 2) \(-2\); 3) \(\frac1{16}\); 4) \(2\); 5) \(8\); 6) \(\frac1{125}\); внизу \(6\).

Для логарифма используем определение: \[ \log_a b=c \iff a^c=b, \] где \(a>0,\ a\ne1,\ b>0\). Если основание содержит \(x\), проверяем \(x>0,\ x\ne1\).

1. \(\log_{\sqrt2}\frac18=x\)

\[ (\sqrt2)^x=\frac18 \] \[ (2^{1/2})^x=2^{-3} \] \[ 2^{x/2}=2^{-3} \] \[ \frac{x}{2}=-3 \Rightarrow x=-6. \]

2. \(\log_{3\sqrt3}\frac1{27}=x\)

\[ (3\sqrt3)^x=\frac1{27} \] \[ (3^{3/2})^x=3^{-3} \] \[ \frac{3x}{2}=-3 \Rightarrow x=-2. \]

3. \(\log_x4=-\frac12\)

Условия: \(x>0,\ x\ne1\).

\[ x^{-1/2}=4 \] \[ \frac1{\sqrt{x}}=4 \Rightarrow \sqrt{x}=\frac14 \] \[ x=\frac1{16}. \]

4. \(\log_x0{,}125=-3\)

\[ 0{,}125=\frac18 \] \[ x^{-3}=\frac18 \] \[ \frac1{x^3}=\frac18 \Rightarrow x^3=8 \] \[ x=2. \]

5. \(\log_{16}x=\frac34\)

\[ x=16^{3/4} \] \[ 16=2^4 \Rightarrow x=(2^4)^{3/4}=2^3=8. \]

6. \(\log_5x=-3\)

\[ x=5^{-3}=\frac1{125}. \]

7. \(\log_{1/\sqrt2}\frac18=x\)

\[ \frac{1}{\sqrt2}=2^{-1/2},\qquad \frac18=2^{-3} \] \[ (2^{-1/2})^x=2^{-3} \] \[ 2^{-x/2}=2^{-3} \] \[ -\frac{x}{2}=-3 \Rightarrow x=6. \]

Ответ:

1. \(-6\);
2. \(-2\);
3. \(\frac1{16}\);
4. \(2\);
5. \(8\);
6. \(\frac1{125}\);
7. \(6\).