Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_1=2\), \(x_2=3\).
Как понять решение:
Уравнение имеет вид \(x^2-5x+6=0\). Коэффициент при \(x^2\) равен 1, поэтому ищем два числа, которые:
- в сумме дают \(5\);
- в произведении дают \(6\).
Это \(2\) и \(3\), так как \(2+3=5\), а \(2\cdot3=6\).
Значит, выражение можно разложить на множители:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Получаем:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0 \]
Отсюда:
\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3 \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]
Оба корня подходят.
Обсуждение
4 сообщенияА как решать, если число не раскладывается?
А как решать, если число не раскладывается?
Если целые числа не подбираются, уравнение всё равно решают через дискриминант — это универсальный способ.
Для уравнения
\[ ax^2+bx+c=0 \]
сначала находят
\[ D=b^2-4ac \]
Затем:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]
- если \(D>0\) — два разных корня;
- если \(D=0\) — один корень;
- если \(D<0\) — действительных корней нет.
Пример, где красиво не раскладывается:
\[ x^2-3x+1=0 \]
\[ D=(-3)^2-4\cdot1\cdot1=9-4=5 \]
\[ x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2} \]
То есть
\[ x_1=\frac{3-\sqrt5}{2},\qquad x_2=\frac{3+\sqrt5}{2} \]
Корни получились «некрасивыми», но это нормально: уравнение решено. Если под корнем не извлекается точный квадрат, ответ так и оставляют с \(\sqrt{}\).
Короткое правило: не получается подобрать множители — считай дискриминант.
Коротко: если целых чисел не подбирается, работает универсальный способ — через дискриминант. Формула подходит всегда, даже когда корни некрасивые.
Формула
Для уравнения \(ax^2+bx+c=0\):
\[ D=b^2-4ac \]
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]
Что означает \(D\)
- \(D>0\) — два разных корня (могут быть иррациональными, с корнем в ответе);
- \(D=0\) — один корень \(x=-\dfrac{b}{2a}\);
- \(D<0\) — действительных корней нет.
Пример, где разложение не подбирается
\[ x^2-3x+1=0 \]
Целых чисел, дающих в сумме \(3\), а в произведении \(1\), нет. Считаем дискриминант:
\[ D=(-3)^2-4\cdot1\cdot1=9-4=5 \]
\[ x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2} \]
То есть:
\[ x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\approx2{,}62,\qquad x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx0{,}38 \]
Корни получились «некрасивые», но это нормальный ответ — его так и оставляют, с корнем.
Полезная связь с подбором
Теорема Виета работает и без целых чисел:
\[ x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a} \]
Подбор — это просто быстрый способ, когда корни целые. Как только видно, что целых нет, переходи к дискриминанту: он даёт ответ в любом случае.
