Реши задание на изображении
Краткий ответ
- a) \(AA_1\) и \(AC_1\) — пересекаются в точке \(A\);
- b) \(FC_1\) и \(DD_1\) — скрещиваются;
- c) \(FE\) и \(CD\) — пересекаются (их продолжения встречаются вне основания).
Почему так В пространстве две прямые либо имеют общую точку, либо параллельны, либо скрещиваются.
a) Обе прямые проходят через точку \(A\), при этом это разные прямые. Значит, они пересекаются.
b) Спроецируем прямые на плоскость основания.
\(DD_1\) проецируется в точку \(D\), а \(FC_1\) — в прямую \(FC\).
Если бы \(FC_1\) и \(DD_1\) пересекались, точка пересечения проецировалась бы в \(D\) и одновременно лежала бы на \(FC\), то есть \(D\) лежал бы на \(FC\). Но в правильном шестиугольнике это не так.
Параллельными эти прямые тоже не являются. Следовательно, они скрещиваются.c) \(FE\) и \(CD\) лежат в одной плоскости — плоскости нижнего основания. В правильном шестиугольнике \(FE\parallel BC\), а \(CD\) не параллельна \(FE\). Две непараллельные прямые одной плоскости пересекаются.
Точка пересечения их продолжений находится вне шестиугольника, поэтому на рисунке её не видно.
Обсуждение
2 сообщенияОтвет
| Пара прямых | Взаимное расположение |
|---|---|
| a) \(AA_1\) и \(AC_1\) | пересекающиеся |
| b) \(FC_1\) и \(DD_1\) | скрещивающиеся |
| c) \(FE\) и \(CD\) | пересекающиеся |
Выбранные на экране варианты — верные.
Почему так
a) \(AA_1\) и \(AC_1\). Обе прямые проходят через вершину \(A\) (у них общая точка \(A\), а направления разные — \(AA_1\) вертикальна, \(AC_1\) идёт по диагонали). Значит, они пересекаются.
b) \(FC_1\) и \(DD_1\). Ребро \(DD_1\) параллельно ребру \(CC_1\), то есть \(DD_1 \parallel\) плоскости \(FCC_1\), в которой лежит прямая \(FC_1\). При этом \(DD_1\) не параллельна \(FC_1\) (она параллельна только \(CC_1\)) и не имеет с \(FC_1\) общих точек. Прямые лежат в разных плоскостях и не пересекаются → скрещивающиеся.
Проверка по координатам: пусть сторона основания \(a\). Тогда \(D(-a;0;0)\), \(D_1(-a;0;h)\), \(F\!\left(\tfrac a2;-\tfrac{\sqrt3 a}{2};0\right)\), \(C_1\!\left(-\tfrac a2;\tfrac{\sqrt3 a}{2};h\right)\). Точка прямой \(FC_1\) имеет вид \(\left(\tfrac a2-at;\ -\tfrac{\sqrt3a}{2}+\sqrt3at;\ ht\right)\). Условие \(x=-a\) даёт \(t=\tfrac32\), но тогда \(y=\sqrt3a\neq0\) — общей точки нет.
c) \(FE\) и \(CD\). Обе прямые лежат в плоскости основания. В правильном шестиугольнике \(FE \parallel BC\), а не \(CD\), то есть прямые не параллельны. Две непараллельные прямые одной плоскости пересекаются (точка пересечения лежит на продолжениях рёбер, вне призмы — но речь о прямых, а не об отрезках).
Как проверять в похожих задачах: сначала выясни, лежат ли прямые в одной плоскости. Если да — они либо параллельны, либо пересекаются. Если нет — ищи общую точку: есть точка → пересекаются, нет → скрещиваются.
