Номер 9,10,11
Кратко
| № | \(x\) | \(y\) |
|---|---|---|
| 9 | \(\dfrac{13\sqrt2(3+\sqrt3)}{12}\) | \(\dfrac{13\sqrt6}{6}\) |
| 10 | \(8(\sqrt6-\sqrt2)\) | \(16(\sqrt3-1)\) |
| 11 | \(7\sqrt2\) | \(\dfrac{7(\sqrt3+1)}{2}\) |
В №10 и №11 использую равенства отрезков, показанные на чертеже: \(ME=EN\), \(AD=DC\).
9
В треугольнике \(MEF\): \[ \angle M=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ. \] Так как \(\angle EMK=30^\circ\), то в треугольнике \(MEK\): \[ \angle EKM=180^\circ-60^\circ-30^\circ=90^\circ. \] Значит, \(MK\perp EF\), то есть \(MK\) — высота.
В прямоугольном \(\triangle MEK\): \[ \sin60^\circ=\frac{MK}{ME} \quad\Rightarrow\quad y=ME=\frac{MK}{\sin60^\circ}. \] \[ y=\frac{13\sqrt2}{4}\cdot\frac{2}{\sqrt3} =\frac{13\sqrt6}{6}. \]
Далее: \[ EK=\frac{MK}{\tan60^\circ} =\frac{13\sqrt2}{4\sqrt3} =\frac{13\sqrt6}{12}. \] В \(\triangle MKF\) угол при \(M\) равен \[ 75^\circ-30^\circ=45^\circ, \] а угол при \(F\) уже \(45^\circ\), поэтому \(MK=KF\): \[ KF=\frac{13\sqrt2}{4}. \] Тогда \[ x=EF=EK+KF =\frac{13\sqrt6}{12}+\frac{13\sqrt2}{4} =\frac{13\sqrt2(3+\sqrt3)}{12}. \]
10
Так как \(ME=EN\), отрезок \(FE\) — медиана треугольника \(MFN\).
Обозначим \(\angle MEF=\alpha\). Тогда \(\angle FEN=180^\circ-\alpha\), поэтому синусы этих углов равны.
По теореме синусов: \[ ME=\frac{x\sin45^\circ}{\sin\alpha}, \qquad EN=\frac{y\sin30^\circ}{\sin\alpha}. \] Но \(ME=EN\), значит: \[ x\sin45^\circ=y\sin30^\circ, \] откуда \[ y=x\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ} =x\sqrt2. \]
Теперь используем формулу медианы. В треугольнике \(MFN\): \[ FE^2=\frac{2x^2+2y^2-MN^2}{4}. \] По теореме косинусов: \[ MN^2=x^2+y^2-2xy\cos75^\circ. \] Подставляем: \[ 64=\frac{x^2+y^2+2xy\cos75^\circ}{4}. \] Так как \(y=x\sqrt2\): \[ 256=x^2(2+\sqrt3). \] Отсюда \[ x=16\sqrt{2-\sqrt3}=8(\sqrt6-\sqrt2), \] \[ y=x\sqrt2=16(\sqrt3-1). \]
11
Так как \(AD=DC\), отрезок \(BD\) — медиана треугольника \(ABC\).
Пусть \(\angle ADB=\delta\). Тогда \(\angle BDC=180^\circ-\delta\), и их синусы равны.
По теореме синусов: \[ AD=\frac{x\sin45^\circ}{\sin\delta}, \] \[ DC=\frac{14\sin30^\circ}{\sin\delta}. \] Но \(AD=DC\), поэтому: \[ x\sin45^\circ=14\sin30^\circ. \] Значит: \[ x=14\cdot\frac{\sin30^\circ}{\sin45^\circ} =14\cdot\frac{1/2}{\sqrt2/2} =7\sqrt2. \]
Теперь найдём медиану \(BD\). В треугольнике \(ABC\): \[ \angle ABC=45^\circ+30^\circ=75^\circ. \] По формуле медианы: \[ BD^2=\frac{x^2+14^2+2\cdot x\cdot14\cos75^\circ}{4}. \] Подставляем \(x=7\sqrt2\): \[ BD^2=\frac{49(2+\sqrt3)}{2}. \] Следовательно, \[ y=BD=\frac{7(\sqrt3+1)}{2}. \]
