213
Краткий ответ (действительные корни):
\[ \begin{aligned} \text{а)}&\ 0;\ \pm\sqrt6; & \text{б)}&\ 0; & \text{в)}&\ 0;\ \frac32;\ 2; & \text{г)}&\ -\frac15;\ 0;\ \frac12;\\ \text{д)}&\ -\frac13;\ \frac13;\ 2; & \text{е)}&\ -4;\ 0;\ 1;\ 4; & \text{ж)}&\ -1;\ 1; & \text{з)}&\ -1;\ 0;\ 1;\ 3. \end{aligned} \]
Как рассуждать
- Переносим всё в одну часть, чтобы получилось \(P(x)=0\).
- Раскладываем на множители: выносим общий множитель, применяем группировку или формулы сокращённого умножения.
- Используем главное правило:
\[ A\cdot B=0 \quad\Leftrightarrow\quad A=0\ \text{или}\ B=0. \]
Нельзя сразу делить на \(x\) или \(y\): так можно потерять корень \(0\).
Например, для д):
\[ 9x^3-18x^2-x+2=0 \]
Группируем:
\[ 9x^2(x-2)-(x-2)=0 \]
\[ (x-2)(9x^2-1)=0 \]
\[ (x-2)(3x-1)(3x+1)=0 \]
Отсюда:
\[ x=2,\qquad x=\frac13,\qquad x=-\frac13. \]
Разложения для всех уравнений
| Разложение | Корни | |
|---|---|---|
| а) | \(y(y^2-6)=0\) | \(0;\ \pm\sqrt6\) |
| б) | \(x^2(6x^2+3{,}6)=0\) | \(0\) |
| в) | \(x\left(x-\frac32\right)(x-2)=0\) | \(0;\ \frac32;\ 2\) |
| г) | \(x\left(x+\frac15\right)\left(x-\frac12\right)=0\) | \(-\frac15;\ 0;\ \frac12\) |
| д) | \((x-2)(3x-1)(3x+1)=0\) | \(-\frac13;\ \frac13;\ 2\) |
| е) | \(y(y-1)(y-4)(y+4)=0\) | \(-4;\ 0;\ 1;\ 4\) |
| ж) | \((p-1)^2(p+1)=0\) | \(-1;\ 1\) |
| з) | \(x(x-3)(x-1)(x+1)=0\) | \(-1;\ 0;\ 1;\ 3\) |
В б) второй множитель \(6x^2+3{,}6>0\), поэтому остаётся только \(x=0\).
Проверка: например, в д) при \(x=2\):
\[ 9\cdot 8-18\cdot 4-2+2=72-72=0. \]
Значит, корень найден верно.
Обсуждение
2 сообщенияМне не нужно краткое задание мне нужно полное задание и решение полное
Понял. Ниже полное задание и подробное решение каждого уравнения.
Задание № 213
Решите уравнение:
а) \(y^3-6y=0\)
б) \(6x^4+3{,}6x^2=0\)
в) \(2x^3-7x^2+6x=0\)
г) \(10x^3-3x^2-x=0\)
д) \(9x^3-18x^2-x+2=0\)
е) \(y^4-y^3-16y^2+16y=0\)
ж) \(p^3-p^2-p+1=0\)
з) \(x^4-3x^3-x^2+3x=0\)
Решение
а) \(y^3-6y=0\)
Вынесем общий множитель \(y\):
\[ y(y^2-6)=0 \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ y=0 \]
или
\[ y^2-6=0 \]
\[ y^2=6 \]
\[ y=\pm\sqrt6 \]
Ответ: \(y=0;\ -\sqrt6;\ \sqrt6\).
б) \(6x^4+3{,}6x^2=0\)
Вынесем \(x^2\):
\[ x^2(6x^2+3{,}6)=0 \]
Отсюда:
\[ x^2=0 \]
или
\[ 6x^2+3{,}6=0 \]
Второе уравнение:
\[ 6x^2=-3{,}6 \]
\[ x^2=-0{,}6 \]
Квадрат числа не может быть отрицательным, значит, действительных корней здесь нет.
Остаётся:
\[ x^2=0 \]
\[ x=0 \]
Ответ: \(x=0\).
в) \(2x^3-7x^2+6x=0\)
Вынесем \(x\):
\[ x(2x^2-7x+6)=0 \]
Разложим квадратный трёхчлен:
\[ 2x^2-7x+6=0 \]
\[ D=(-7)^2-4\cdot2\cdot6=49-48=1 \]
\[ x_{1,2}=\frac{7\pm1}{4} \]
\[ x_1=2,\qquad x_2=\frac{6}{4}=\frac32 \]
Значит,
\[ 2x^2-7x+6=(2x-3)(x-2) \]
Получаем:
\[ x(2x-3)(x-2)=0 \]
Отсюда:
\[ x=0 \]
или
\[ 2x-3=0 \Rightarrow x=\frac32 \]
или
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2 \]
Ответ: \(x=0;\ \frac32;\ 2\).
г) \(10x^3-3x^2-x=0\)
Вынесем \(x\):
\[ x(10x^2-3x-1)=0 \]
Решим квадратное уравнение:
\[ 10x^2-3x-1=0 \]
\[ D=(-3)^2-4\cdot10\cdot(-1)=9+40=49 \]
\[ x_{1,2}=\frac{3\pm7}{20} \]
\[ x_1=\frac{10}{20}=\frac12 \]
\[ x_2=\frac{-4}{20}=-\frac15 \]
Значит,
\[ 10x^2-3x-1=(5x+1)(2x-1) \]
Получаем:
\[ x(5x+1)(2x-1)=0 \]
Отсюда:
\[ x=0 \]
или
\[ 5x+1=0 \Rightarrow x=-\frac15 \]
или
\[ 2x-1=0 \Rightarrow x=\frac12 \]
Ответ: \(x=-\frac15;\ 0;\ \frac12\).
д) \(9x^3-18x^2-x+2=0\)
Сгруппируем слагаемые:
\[ (9x^3-18x^2)-(x-2)=0 \]
\[ 9x^2(x-2)-(x-2)=0 \]
Вынесем общий множитель \((x-2)\):
\[ (x-2)(9x^2-1)=0 \]
Разложим разность квадратов:
\[ 9x^2-1=(3x-1)(3x+1) \]
Тогда:
\[ (x-2)(3x-1)(3x+1)=0 \]
Отсюда:
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2 \]
\[ 3x-1=0 \Rightarrow x=\frac13 \]
\[ 3x+1=0 \Rightarrow x=-\frac13 \]
Ответ: \(x=-\frac13;\ \frac13;\ 2\).
е) \(y^4-y^3-16y^2+16y=0\)
Вынесем \(y\):
\[ y(y^3-y^2-16y+16)=0 \]
Сгруппируем выражение в скобках:
\[ y^3-y^2-16y+16= \]
\[ = y^2(y-1)-16(y-1)= \]
\[ =(y-1)(y^2-16) \]
Значит,
\[ y(y-1)(y^2-16)=0 \]
Разложим \(y^2-16\):
\[ y^2-16=(y-4)(y+4) \]
Получаем:
\[ y(y-1)(y-4)(y+4)=0 \]
Отсюда:
\[ y=0 \]
\[ y-1=0 \Rightarrow y=1 \]
\[ y-4=0 \Rightarrow y=4 \]
\[ y+4=0 \Rightarrow y=-4 \]
Ответ: \(y=-4;\ 0;\ 1;\ 4\).
ж) \(p^3-p^2-p+1=0\)
Сгруппируем:
\[ (p^3-p^2)-(p-1)=0 \]
\[ p^2(p-1)-(p-1)=0 \]
\[ (p-1)(p^2-1)=0 \]
Разложим \(p^2-1\):
\[ p^2-1=(p-1)(p+1) \]
Тогда:
\[ (p-1)(p-1)(p+1)=0 \]
\[ (p-1)^2(p+1)=0 \]
Отсюда:
\[ p-1=0 \Rightarrow p=1 \]
\[ p+1=0 \Rightarrow p=-1 \]
Корень \(p=1\) имеет кратность \(2\), но в ответе указываем само значение.
Ответ: \(p=-1;\ 1\).
з) \(x^4-3x^3-x^2+3x=0\)
Вынесем \(x\):
\[ x(x^3-3x^2-x+3)=0 \]
Сгруппируем выражение в скобках:
\[ x^3-3x^2-x+3= \]
\[ =x^2(x-3)-(x-3)= \]
\[ =(x-3)(x^2-1) \]
Значит,
\[ x(x-3)(x^2-1)=0 \]
Разложим \(x^2-1\):
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Получаем:
\[ x(x-3)(x-1)(x+1)=0 \]
Отсюда:
\[ x=0 \]
\[ x-3=0 \Rightarrow x=3 \]
\[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \]
\[ x+1=0 \Rightarrow x=-1 \]
Ответ: \(x=-1;\ 0;\ 1;\ 3\).
Итоговые ответы
\[ \begin{aligned} \text{а)}&\ y=0;\ \pm\sqrt6;\\ \text{б)}&\ x=0;\\ \text{в)}&\ x=0;\ \frac32;\ 2;\\ \text{г)}&\ x=-\frac15;\ 0;\ \frac12;\\ \text{д)}&\ x=-\frac13;\ \frac13;\ 2;\\ \text{е)}&\ y=-4;\ 0;\ 1;\ 4;\\ \text{ж)}&\ p=-1;\ 1;\\ \text{з)}&\ x=-1;\ 0;\ 1;\ 3. \end{aligned} \]
Важно: при решении таких уравнений нельзя сразу делить на \(x\) или \(y\), иначе можно потерять корень \(0\).
