Реши задание на изображении

Кратко

1. а) \(16^{10}=2^{40}\); б) \(256^8=2^{64}\).
2. а) \(8\); б) \(343\).
3. Свойство: \((a^m)^n=a^{mn}\).

Подробное решение

Понадобятся свойства степеней: \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}. \]

Задание 1

Так как \(16=2^4\): \[ 16^{10}=(2^4)^{10}=2^{4\cdot 10}=2^{40}. \]

Так как \(256=2^8\): \[ 256^8=(2^8)^8=2^{8\cdot 8}=2^{64}. \]

Задание 2

а) \[ \frac{(2^3)^{10}\cdot(2^2)^2}{2^{31}} = \frac{2^{30}\cdot2^4}{2^{31}} = \frac{2^{34}}{2^{31}} = 2^{34-31}=2^3=8. \]

б) Учитываем, что \(49=7^2\), \(343=7^3\): \[ \frac{7^{14}\cdot49}{343\cdot(7^5)^2} = \frac{7^{14}\cdot7^2}{7^3\cdot7^{10}} = \frac{7^{16}}{7^{13}} = 7^{16-13}=7^3=343. \]

Задание 3

Докажем свойство: \[ (a^m)^n=a^{mn}. \]

По определению степени: \[ (a^m)^n= \underbrace{a^m\cdot a^m\cdot\ldots\cdot a^m}_{n\text{ множителей}}. \]

Каждый множитель \(a^m\) — это \(m\) одинаковых множителей \(a\). Значит, всего множителей \(a\) будет: \[ m\cdot n. \]

То есть: \[ (a^m)^n=a^{mn}. \]

Например: \[ (2^3)^4=2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3=2^{12}. \]

Ответ:

1. а) \(2^{40}\); б) \(2^{64}\).
2. а) \(8\); б) \(343\).
3. \((a^m)^n=a^{mn}\).