Реши задание на изображении
Краткий ответ
В записи на доске есть противоречие: при
\[ \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi \] косинус положителен, а дано \(\cos\alpha=-0{,}7\).
Буквально такого угла нет. Если это опечатка и угол должен быть в III четверти или \(\cos\alpha=0{,}7\), то \[ \boxed{\sin\alpha=-\frac{\sqrt{51}}{10}\approx -0{,}714}. \]\[ \boxed{\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\sqrt6}{12}\approx 0{,}204} \]
Как решать
1) Находим \(\sin\alpha\)
Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. \]
Если брать \(\cos\alpha=-0{,}7=-\frac7{10}\), то: \[ \sin^2\alpha=1-\left(-\frac7{10}\right)^2 =1-\frac{49}{100} =\frac{51}{100}. \] Отсюда \[ |\sin\alpha|=\frac{\sqrt{51}}{10}. \]
Знак синуса определяется четвертью. По записи \(\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi\) это IV четверть, там синус отрицательный, поэтому: \[ \sin\alpha=-\frac{\sqrt{51}}{10}. \]
Но ещё раз: в IV четверти косинус не может быть отрицательным. Поэтому условие с \(\cos\alpha=-0{,}7\) и указанным промежутком одновременно не выполняется. Скорее всего, на доске опечатка.
2) Находим \(\operatorname{ctg}\alpha\)
Дано: \[ \cos\alpha=0{,}2=\frac15,\qquad 0<\alpha<\frac\pi2. \]
В I четверти синус положителен. \[ \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha =1-\frac1{25} =\frac{24}{25}. \] Значит, \[ \sin\alpha=\frac{\sqrt{24}}5=\frac{2\sqrt6}{5}. \]
Теперь: \[ \operatorname{ctg}\alpha =\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} =\frac{\frac15}{\frac{2\sqrt6}{5}} =\frac1{2\sqrt6} =\frac{\sqrt6}{12}. \]
Проверка: \[ 1+\operatorname{ctg}^2\alpha =1+\frac6{144} =\frac{25}{24} =\frac1{\sin^2\alpha}. \] Всё сходится.
