Реши задание на изображении
Краткий ответ
- \(x\approx 30{,}83\)
- \(x=\arccos\frac{19}{20}\approx18{,}2^\circ\)
- \(x=\sqrt{13}\approx3{,}61\)
- \(x=\dfrac{175}{4\sqrt{66}}\approx5{,}39\)
В этих четырёх задачах на фото ищется только \(x\); \(y\) в условии нет.
Как решать
Основная формула — теорема косинусов:
\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C, \]
где \(C\) — угол между сторонами \(a\) и \(b\).
1. Треугольник \(MKN\)
Даны \(MK=16\), \(KN=18\), \(\angle MKN=130^\circ\). Сторона \(x=MN\) лежит против этого угла:
\[ x^2=16^2+18^2-2\cdot16\cdot18\cos130^\circ. \]
\[ x^2=256+324-576\cdot(-0{,}6428) \]
\[ x^2\approx580+370{,}25=950{,}25. \]
\[ x\approx\sqrt{950{,}25}\approx30{,}83. \]
2. Треугольник \(RST\)
Даны \(RS=4\), \(RT=7\), \(ST=10\). Нужен угол \(x=\angle RTS\), он лежит против стороны \(RS=4\). Выражаем косинус:
\[ \cos x=\frac{RT^2+ST^2-RS^2}{2\cdot RT\cdot ST}. \]
\[ \cos x=\frac{7^2+10^2-4^2}{2\cdot7\cdot10} =\frac{49+100-16}{140} =\frac{133}{140} =\frac{19}{20}. \]
Тогда
\[ x=\arccos\frac{19}{20}\approx18{,}2^\circ. \]
3. Треугольник \(ABC\)
Даны \(AB=\sqrt8\), \(AC=5\), \(\angle A=45^\circ\). Сторона \(BC=x\) лежит против угла \(45^\circ\):
\[ x^2=(\sqrt8)^2+5^2-2\cdot\sqrt8\cdot5\cos45^\circ. \]
\[ x^2=8+25-2\sqrt8\cdot5\cdot\frac{\sqrt2}{2}. \]
Так как \(\sqrt8\cdot\sqrt2=4\), получаем:
\[ x^2=33-20=13. \]
\[ x=\sqrt{13}\approx3{,}61. \]
4. Окружность
Точки \(E,R,F\) лежат на окружности с центром \(O\), значит \(OR=x\) — радиус описанной около треугольника \(ERF\) окружности.
Стороны треугольника:
\[ ER=10,\quad EF=5,\quad RF=7. \]
Найдём угол \(\alpha=\angle ERF\), он лежит против стороны \(EF=5\):
\[ 5^2=10^2+7^2-2\cdot10\cdot7\cos\alpha. \]
\[ 25=149-140\cos\alpha, \]
\[ \cos\alpha=\frac{124}{140}=\frac{31}{35}. \]
Тогда
\[ \sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{31}{35}\right)^2} =\frac{\sqrt{264}}{35} =\frac{2\sqrt{66}}{35}. \]
По теореме синусов:
\[ R=\frac{EF}{2\sin\alpha}. \]
\[ x=\frac{5}{2\cdot\frac{2\sqrt{66}}{35}} =\frac{175}{4\sqrt{66}} \approx5{,}39. \]
Проверка: радиус больше половины самой большой хорды: \(5{,}39>5\), это возможно.
\[ \boxed{x\approx5{,}39} \]
Общий принцип: если в задаче даны две стороны и угол между ними — находим третью сторону по теореме косинусов; если даны все три стороны, а нужен угол — выражаем \(\cos\) этого угла.
Обсуждение
2 сообщенияНомер 5 и 6
Ответы
№ 5.
\[
x=\frac{4\sqrt{14}}{3}\approx 4{,}99,\qquad
y=\frac{26}{3}\approx 8{,}67.
\]
№ 6.
\[
x=\sqrt{63}=3\sqrt7\approx 7{,}94.
\]
№ 5
В треугольнике \(MNQ\):
\[ MN=10,\quad MQ=6,\quad NQ=12, \]
\(MK\perp NQ\), причём \(NK=y\), \(MK=x\). Тогда
\[ KQ=12-y. \]
По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников \(MNK\) и \(MQK\):
\[ x^2+y^2=10^2, \]
\[ x^2+(12-y)^2=6^2. \]
Вычитаем второе уравнение из первого:
\[ y^2-(12-y)^2=100-36, \]
\[ 24y-144=64, \]
\[ y=\frac{208}{24}=\frac{26}{3}. \]
Теперь находим \(x\):
\[ x^2=100-\left(\frac{26}{3}\right)^2 =100-\frac{676}{9} =\frac{224}{9}. \]
\[ x=\frac{\sqrt{224}}{3} =\frac{4\sqrt{14}}{3}. \]
№ 6
\(ABCD\) — параллелограмм, поэтому
\[ AD=BC=9. \]
В треугольнике \(ABD\):
\[ AB=6,\quad AD=9,\quad \angle A=60^\circ. \]
По теореме косинусов:
\[ BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cos60^\circ. \]
\[ x^2=6^2+9^2-2\cdot6\cdot9\cdot\frac12, \]
\[ x^2=36+81-54=63. \]
\[ x=\sqrt{63}=3\sqrt7. \]
Проверка: \(3\sqrt7\approx7{,}94\), что меньше \(AD=9\) и больше \(AB=6\), значит, значение правдоподобно.
