Реши задание на изображении
Ниже — ответы ко всем вопросам и задачам 312–313, которые видны на фото. Использую школьное определение:
\[ \bar x=\frac{x_1+\dots+x_n}{n},\qquad D=\frac{(x_1-\bar x)^2+\dots+(x_n-\bar x)^2}{n}. \]
То есть дисперсия — это среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего.
Краткий ответ
- Размах учитывает только наибольшее и наименьшее значения, а не весь набор.
- Дисперсия — среднее квадратов отклонений значений от их среднего арифметического.
- Меньше дисперсия у первого набора \(1,2,3\).
- Большая дисперсия означает сильные различия месячных температур, то есть более контрастный климат; маленькая — более ровный.
- Нет, дисперсия не может быть отрицательной.
Задача 312
а) \(\frac{14}{3}=4\frac23\approx4{,}67\)
б) \(\frac{14}{3}\approx4{,}67\)
в) \(6{,}5\)
г) \(3{,}5\)
д) \(6\)
е) \(6{,}4\)
Задача 313
а) у первого набора: \(D=\frac{14}{3}\approx4{,}67\), у второго: \(D=\frac23\approx0{,}67\).
Больше у первого набора.
б) у первого набора: \(D=3{,}5\), у второго: \(D=6{,}5\).
Больше у второго набора.
Подробно
Вопросы
Размах равен \(\max-\min\). Он не показывает, как расположены остальные числа. Например, наборы
\[ 0,0,10 \quad\text{и}\quad 0,5,10 \] имеют одинаковый размах \(10\), но рассеивание у них разное.Дисперсия числового набора: \[ D=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2. \]
Второй набор \(2,4,6\) получается умножением первого \(1,2,3\) на \(2\). Тогда отклонения тоже увеличиваются в \(2\) раза, а их квадраты — в \(4\) раза. Значит, дисперсия второго набора в \(4\) раза больше. Поэтому меньше дисперсия у первого набора.
Дисперсия средних месячных температур показывает, насколько сильно температуры разных месяцев отличаются от средней годовой. Чем больше дисперсия, тем более контрастны сезоны; чем меньше — тем ровнее температуры в течение года.
Нет. Сумма квадратов неотрицательна, поэтому \[ D\ge0. \] Дисперсия равна нулю только тогда, когда все числа набора одинаковы.
Задача 312
| Набор | Среднее \(\bar x\) | Отклонения \(x_i-\bar x\) | Квадраты отклонений | \(D\) |
|---|---|---|---|---|
| а) \(-1,0,4\) | \(1\) | \(-2,-1,3\) | \(4,1,9\) | \(\frac{14}{3}\) |
| б) \(2,3,7\) | \(4\) | \(-2,-1,3\) | \(4,1,9\) | \(\frac{14}{3}\) |
| в) \(-3,1,2,4\) | \(1\) | \(-4,0,1,3\) | \(16,0,1,9\) | \(6{,}5\) |
| г) \(2,6,7,5\) | \(5\) | \(-3,1,2,0\) | \(9,1,4,0\) | \(3{,}5\) |
| д) \(-2,-1,1,2,5\) | \(1\) | \(-3,-2,0,1,4\) | \(9,4,0,1,16\) | \(6\) |
| е) \(-1,-3,-2,3,3\) | \(0\) | \(-1,-3,-2,3,3\) | \(1,9,4,9,9\) | \(6{,}4\) |
Например, для а): \[ \bar x=\frac{-1+0+4}{3}=1, \] \[ D=\frac{(-2)^2+(-1)^2+3^2}{3} =\frac{4+1+9}{3} =\frac{14}{3}. \]
Проверка: сумма отклонений в каждом наборе должна быть равна \(0\). В таблице это выполняется.
Задача 313
а) Наборы \(2,3,7\) и \(1,2,3\)
| Набор | Среднее | Отклонения | Квадраты отклонений | \(D\) |
|---|---|---|---|---|
| \(2,3,7\) | \(4\) | \(-2,-1,3\) | \(4,1,9\) | \(\frac{14}{3}\) |
| \(1,2,3\) | \(2\) | \(-1,0,1\) | \(1,0,1\) | \(\frac{2}{3}\) |
\[ \frac{14}{3}>\frac{2}{3}, \] поэтому дисперсия первого набора больше.
На числовой прямой точки расположены так:
первый набор — \(2,3,7\); второй — \(1,2,3\).
б) Наборы \(2,3,4,7\) и \(1,5,6,8\)
| Набор | Среднее | Отклонения | Квадраты отклонений | \(D\) |
|---|---|---|---|---|
| \(2,3,4,7\) | \(4\) | \(-2,-1,0,3\) | \(4,1,0,9\) | \(\frac{14}{4}=3{,}5\) |
| \(1,5,6,8\) | \(5\) | \(-4,0,1,3\) | \(16,0,1,9\) | \(\frac{26}{4}=6{,}5\) |
\[ 6{,}5>3{,}5, \] значит, дисперсия второго набора больше.
На числовой прямой: первый набор — \(2,3,4,7\); второй — \(1,5,6,8\).
Условие в самой нижней строке обрезано: там не хватает начала и вопроса, поэтому по нему нужен полный текст.
