Реши задание на изображении
На фото несколько заданий; ниже — все полностью видимые. Для дисперсии использую школьное определение: делим на число значений \(n\).
\[ \bar x=\frac{x_1+\dots+x_n}{n},\qquad D=\frac{(x_1-\bar x)^2+\dots+(x_n-\bar x)^2}{n}. \]
Кратко: 2. Дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений чисел от их среднего арифметического. 3. Меньше у набора \(1,2,3\). 4. Дисперсия показывает, насколько сильно меняется температура от месяца к месяцу: большая — климат более континентальный, с сильными сезонными различиями; маленькая — климат мягкий, ровный. 5. Нет, не может: сумма квадратов неотрицательна, поэтому \(D\ge 0\).
№ 12
| Набор | Среднее \(\bar x\) | Отклонения \(x_i-\bar x\) | Квадраты отклонений | Дисперсия \(D\) |
|---|---|---|---|---|
| а) \(-1,0,4\) | \(1\) | \(-2;-1;3\) | \(4;1;9\) | \(\frac{14}{3}=4\frac23\approx4{,}67\) |
| б) \(2,3,7\) | \(4\) | \(-2;-1;3\) | \(4;1;9\) | \(\frac{14}{3}=4\frac23\approx4{,}67\) |
| в) \(-3,1,2,4\) | \(1\) | \(-4;0;1;3\) | \(16;0;1;9\) | \(\frac{26}{4}=6{,}5\) |
| г) \(2,6,7,5\) | \(5\) | \(-3;1;2;0\) | \(9;1;4;0\) | \(\frac{14}{4}=3{,}5\) |
| д) \(-2,-1,1,2,5\) | \(1\) | \(-3;-2;0;1;4\) | \(9;4;0;1;16\) | \(\frac{30}{5}=6\) |
| е) \(-1,-3,-2,3,3\) | \(0\) | \(-1;-3;-2;3;3\) | \(1;9;4;9;9\) | \(\frac{32}{5}=6{,}4\) |
Например, для а):
\[
\bar x=\frac{-1+0+4}{3}=1,
\]
\[
D=\frac{(-2)^2+(-1)^2+3^2}{3}
=\frac{4+1+9}{3}=\frac{14}{3}.
\]
Проверка: сумма отклонений в каждой строке равна \(0\), например \(-2-1+3=0\). Это значит, среднее найдено верно.
№ 13
На числовой прямой отметьте точки:
- а) первый набор \(2,3,7\); второй набор \(1,2,3\);
- б) первый набор \(2,3,4,7\); второй набор \(1,5,6,8\).
Вычисления:
а) \[ \bar x_1=\frac{2+3+7}{3}=4, \] \[ D_1=\frac{(-2)^2+(-1)^2+3^2}{3} =\frac{14}{3}\approx4{,}67. \] \[ \bar x_2=\frac{1+2+3}{3}=2, \] \[ D_2=\frac{(-1)^2+0^2+1^2}{3}=\frac{2}{3}\approx0{,}67. \]
Больше дисперсия у набора \(2,3,7\).
б) \[ \bar x_1=\frac{2+3+4+7}{4}=4, \] \[ D_1=\frac{(-2)^2+(-1)^2+0^2+3^2}{4} =\frac{14}{4}=3{,}5. \] \[ \bar x_2=\frac{1+5+6+8}{4}=5, \] \[ D_2=\frac{(-4)^2+0^2+1^2+3^2}{4} =\frac{26}{4}=6{,}5. \]
Больше дисперсия у набора \(1,5,6,8\).
Нижняя задача про 20 чисел
Если требуется найти дисперсию:
\[ \bar x=\frac{96}{20}=4{,}8. \]
Используем формулу \[ D=\frac{\sum x_i^2}{n}-(\bar x)^2. \]
Тогда \[ D=\frac{478}{20}-(4{,}8)^2 =23{,}9-23{,}04=0{,}86. \]
Ответ: \(D=0{,}86\).
Если там просят среднее квадратичное отклонение, то \(\sqrt{0{,}86}\approx0{,}93\).
