Задача Задача №3767584
А
А
Реши задание на изображении
Коротко
- Размах показывает только разницу между наибольшим и наименьшим значениями. Один выброс может сильно изменить размах, хотя основная часть данных осталась той же; одинаковый размах бывает у совсем разных наборов. Поэтому для рассеивания нужны дисперсия и стандартное отклонение.
- Дисперсия — это среднее арифметическое квадратов отклонений чисел набора от их среднего арифметического.
- Меньше дисперсия у набора \(1,2,3\). Второй набор получен умножением первого на 2: отклонения тоже удваиваются, а их квадраты — в 4 раза больше.
- Дисперсия средних месячных температур показывает, насколько сильно температуры меняются от месяца к месяцу. Малая дисперсия — климат ровный, без резких сезонных колебаний; большая — сильные сезонные различия, более континентальный климат.
- Нет. Дисперсия не может быть отрицательной: это сумма квадратов, делённая на положительное число. Она равна нулю только тогда, когда все числа одинаковы.
Формула
\[ \bar x=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}, \qquad D=\frac{(x_1-\bar x)^2+(x_2-\bar x)^2+\dots+(x_n-\bar x)^2}{n}. \]
Алгоритм: найти среднее \(\to\) найти отклонения \(\to\) возвести их в квадрат \(\to\) найти среднее квадратов.
№ 312
Отклонения и их квадраты записаны в том же порядке, что и числа в условии.
| № | \(\bar x\) | отклонения \(x_i-\bar x\) | квадраты отклонений | сумма квадратов | \(D\) |
|---|---|---|---|---|---|
| а) | 1 | \(-2;\ -1;\ 3\) | \(4;\ 1;\ 9\) | 14 | \(\frac{14}{3}=4\frac23\) |
| б) | 4 | \(-2;\ -1;\ 3\) | \(4;\ 1;\ 9\) | 14 | \(\frac{14}{3}=4\frac23\) |
| в) | 1 | \(-4;\ 0;\ 1;\ 3\) | \(16;\ 0;\ 1;\ 9\) | 26 | \(\frac{26}{4}=6{,}5\) |
| г) | 5 | \(-3;\ 1;\ 2;\ 0\) | \(9;\ 1;\ 4;\ 0\) | 14 | \(\frac{14}{4}=3{,}5\) |
| д) | 1 | \(-3;\ -2;\ 0;\ 1;\ 4\) | \(9;\ 4;\ 0;\ 1;\ 16\) | 30 | \(\frac{30}{5}=6\) |
| е) | 0 | \(-1;\ -3;\ -2;\ 3;\ 3\) | \(1;\ 9;\ 4;\ 9;\ 9\) | 32 | \(\frac{32}{5}=6{,}4\) |
Проверка: сумма отклонений в каждом наборе равна нулю — так и должно быть.
№ 313
Обозначим первый набор в каждом пункте через \(A\), второй — через \(B\).
| Пункт | Набор | \(\bar x\) | отклонения | квадраты отклонений | \(D\) |
|---|---|---|---|---|---|
| а) | \(A:2,3,7\) | 4 | \(-2;\ -1;\ 3\) | \(4;\ 1;\ 9\) | \(\frac{14}{3}\) |
| \(B:1,2,3\) | 2 | \(-1;\ 0;\ 1\) | \(1;\ 0;\ 1\) | \(\frac{2}{3}\) | |
| б) | \(A:2,3,4,7\) | 4 | \(-2;\ -1;\ 0;\ 3\) | \(4;\ 1;\ 0;\ 9\) | \(\frac{14}{4}=3{,}5\) |
| \(B:1,5,6,8\) | 5 | \(-4;\ 0;\ 1;\ 3\) | \(16;\ 0;\ 1;\ 9\) | \(\frac{26}{4}=6{,}5\) |
Расположение на числовой прямой:
- 313а: у \(B\) точки \(1,2,3\); у \(A\) точки \(2,3,7\).
- 313б: у \(A\) точки \(2,3,4,7\); у \(B\) точки \(1,5,6,8\).
Ответы:
- 313а: \(D_A=\frac{14}{3}\), \(D_B=\frac23\). Больше дисперсия первого набора \(2,3,7\).
- 313б: \(D_A=3{,}5\), \(D_B=6{,}5\). Больше дисперсия второго набора \(1,5,6,8\).
Нижняя задача
По видимой части условия:
\[ n=20,\qquad \sum x_i=96,\qquad \sum x_i^2=478. \]
Среднее:
\[ \bar x=\frac{96}{20}=4{,}8. \]
Дисперсия:
\[ D=\frac{\sum x_i^2}{n}-(\bar x)^2 =\frac{478}{20}-4{,}8^2 =23{,}9-23{,}04 =0{,}86. \]
Ответ: \(0{,}86\).
