Реши задание на изображении
Кратко: \[ \text{а) }4,\quad \text{б) }10,\quad \text{в) }21,\quad \text{г) }165,\quad \text{д) }924,\quad \text{е) }495. \]
Как решать
Для сочетаний используют формулу: \[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}. \] Число \(C_n^k\) показывает, сколькими способами можно выбрать \(k\) предметов из \(n\), если порядок выбора не важен.
Полезное свойство: \[ C_n^k=C_n^{\,n-k}. \]
Теперь по пунктам:
\[ C_4^3=C_4^1=4. \]
\[ C_5^2=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10. \]
\[ C_7^5=C_7^2=\frac{7\cdot6}{2\cdot1}=21. \]
\[ C_{11}^3=\frac{11\cdot10\cdot9}{3\cdot2\cdot1}=165. \]
\[ C_{12}^6=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=924. \]
\[ C_{12}^8=C_{12}^4=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=495. \]
Проверка: во всех пунктах верхний индекс не больше нижнего, а где удобно, использована симметрия \(C_n^k=C_n^{n-k}\). Поэтому вычисления можно делать по меньшему верхнему индексу.
Обсуждение
2 сообщенияМожно более подробно
Подробный разбор \(C_n^k\)
1. Что означает запись \(C_n^k\)
\(C_n^k\) (читается «це из эн по ка») — число способов выбрать \(k\) предметов из \(n\), если порядок выбора не важен.
Пример: выбрать 2 дежурных из 5 учеников — порядок не важен, пара «Аня и Боря» и «Боря и Аня» — это один и тот же выбор. Значит, это \(C_5^2\).
2. Откуда берётся формула
Сначала считают упорядоченные выборки (размещения): \[ A_n^k=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}. \] Но каждая группа из \(k\) предметов посчитана здесь \(k!\) раз — по числу способов расставить её элементы по порядку. Поэтому делим на \(k!\): \[ \boxed{C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}} \]
Отсюда два рабочих приёма:
- Симметрия: \(C_n^k=C_n^{\,n-k}\) — выбрать \(k\) предметов то же самое, что выбрать \(n-k\) предметов, которые останутся.
- Сокращение: в числителе пишем \(k\) множителей, начиная с \(n\) и уменьшая, в знаменателе — \(k!\). Факториалы целиком считать не нужно.
3. Решение по пунктам
а) \(C_4^3\)
\[ C_4^3=\frac{4!}{3!\,1!}=\frac{24}{6\cdot1}=4 \] Через симметрию проще: \(C_4^3=C_4^1=4\) — из 4 предметов выбрать 3 значит указать 1 лишний, а его можно указать 4 способами.
б) \(C_5^2\)
\[ C_5^2=\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10 \] Сокращение: \(\dfrac{5\cdot4}{2}=10\). Ответ: 10.
в) \(C_7^5\)
\[ C_7^5=C_7^2=\frac{7!}{2!\,5!}=\frac{7\cdot6}{2\cdot1}=21 \] Ответ: 21.
г) \(C_{11}^3\)
\[ C_{11}^3=\frac{11!}{3!\,8!}=\frac{11\cdot10\cdot9}{3\cdot2\cdot1}=\frac{990}{6}=165 \] Ответ: 165.
д) \(C_{12}^6\)
\[ C_{12}^6=\frac{12!}{6!\,6!}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6} \] Сокращаем постепенно: \(\dfrac{12}{4\cdot3}=1\), \(\dfrac{10}{2\cdot5}=1\), остаётся \[ \frac{11\cdot9\cdot8\cdot7}{6}=\frac{5544}{6}=924 \] Ответ: 924.
е) \(C_{12}^8\)
Сразу применяем симметрию — считать нужно меньше множителей: \[ C_{12}^8=C_{12}^4=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{11880}{24}=495 \] Ответ: 495.
4. Проверка по треугольнику Паскаля
Каждая строка треугольника — значения \(C_n^k\), начиная с \(k=0\):
| \(n\) | строка |
|---|---|
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 |
| 5 | 1, 5, 10, 10, 5, 1 |
| 7 | 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 |
| 11 | 1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1 |
| 12 | 1, 12, 66, 220, 495, 792, 924, 792, 495, 220, 66, 12, 1 |
Все шесть ответов совпадают: 4, 10, 21, 165, 924, 495.
5. Частая ошибка
Не путать:
- \(A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}\) — порядок важен (например, пароли, распределение мест);
- \(C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) — порядок не важен (например, выбор команды, списка книг).
Например, \(A_5^2=5\cdot4=20\), а \(C_5^2=10\) — ровно в \(2!=2\) раза меньше, потому что каждая пара посчитана дважды.
Если нужно, могу разобрать похожее задание для тренировки — например, \(C_9^4\) и \(C_{15}^2\).
